ویژگی ماتریس‌های پوچ توان

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

ویژگی‌های ماتریس‌های پوچ توان: در این مطلب سعی نموده‌ایم، ویژگی‌های مهمی که در بین ماتریس‌های پوچ توان برقرار می‌باشد، را ارائه کنیم.

ویژگی ۱. هر ماتریس بالامثلثی یا ماتریس پایین مثلثی که درایه‌های روی قطر اصلی آن صفر باشد حتما ماتریس پوچ توان است.

مثال ۱. نشان دهید که  ماتریسهای زیر ماتریس‌‌های پوچ توان هستند.

\(A=\begin{bmatrix} 0&1&2&3\\0&0&2&3\\0&0&0&2\\0&0&0&0\\ \end{bmatrix}\)

همانطور که مشاهده می‌کنید، تمام درایه‌های زیر قطر اصلی ماتریس فوق صفر می‌باشد، پس این ماتریس یک ماتریس بالامثلثی خواهد بود. طبق ویژگی ۱، این  ماتریس یک ماتریس پوچ توان خواهد بود. برای نشان دادن این موضوع کافی است که ماتریس A را حداکثر به تعداد سطرها یا ستون‌هایش در خودش ضرب کنید. لذا داریم:

\( A*A=\begin{bmatrix} 0&1&2&3\\0&0&2&3\\0&0&0&2\\0&0&0&0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&1&2&3\\0&0&2&3\\0&0&0&2\\0&0&0&0\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&0&2&7\\0&0&0&4\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\ \end{bmatrix}\)

حال ماتریس حاصل شده را دوباره در ماتریس A ضرب کنید، خواهید داشت:

\(A^2 * A=  \begin{bmatrix} 0&0&2&7\\0&0&0&4\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&1&2&3\\0&0&2&3\\0&0&0&2\\0&0&0&0\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&0&0&4\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\ \end{bmatrix}\)

و در نهایت اگر بار دیگر ماتریس حاصل شده را در ماتریس A را ضرب کنید ماتریس صفر حاصل خواهد شد. لذا یک ماتریس پوچ توان خواهد بود. 


ویژگی ۲. فرض کنید که ‎A‌‏ و B‌‌‎ دو ماتریس مربعی از مرتبه \( n\times n\)، پوچ توان و تعویض پذیر باشند. در اینصورت ماتریس ‎A+B‌‏ نیز یک ماتریس پوچ توان خواهد بود.

مثال ۲. دو ماتریس  A و B را به شکل زیر در نظر بگیرید. بررسی کنید که آیا مجموع این دو ماتریس خودتوان است.

\(A=\begin{bmatrix}0&1\\0 &0\\ \end{bmatrix} , B=\begin{bmatrix} 0&0\\1&0\\ \end{bmatrix}\)

با توجه به ویژگی ۱، دو ماتریس A و B پوچ توان هستند. ولی مجموع این دو ماتریس پوچ توان نخواهد بود، زیرا با توجه به ویژگی دو باید این دو ماتریس تعویض پذیر هم باشند، ولی می‌توان مشاهده نمود که \(AB\neq BA\)  لذا  مجموع این دو ماتریس پوچ توان نخواهد شد. با توجه به اینکه  مجموع دو ماتریس A و B به صورت زیر خواهد شد، داریم:

\(A+B= \begin{bmatrix}0&1\\0 &0\\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0&0\\1&0\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0&1\\1&0\\ \end{bmatrix}\)

و با بررسی پوچ توانی خواهیم داشت:

\((A+B)*(A+B)=\begin{bmatrix} 1&0\\0&1\\ \end{bmatrix}\)

در نتیجه این ماتریس هرگز پوچ توان نخواهد شد. 


ویژگی ۳.  فرض کنید که ‎A‌‏ یک ماتریس ‎\(‎ n ‌‌‌‎\times n ‌‌‌‎\)‌‌‏ بر روی یک میدان F‎ و ‎پوچ‎ توان باشد‏. در اینصورت ماتریس‎\(‌‎ ‌‎\lambda A ‌‌‌‎\)‌‌‏ پوچ توان خواهد بود.

تمرین ۱.  ثابت کنید که ماتریس زیر پوچ توان است. 

\(A=\begin{bmatrix} 0&1+i&3\\ 0&0&i\\ 0&i&0 \\ \end{bmatrix},  \lambda = 2i+1,  \lambda A =?\) 


ویژگی ۴.  فرض کنید که A‎ و B‌‌‌‎ دو ماتریس تعویض پذیر باشند، اگر یکی از دو ماتریسهای A و B پوچ توان باشند، آنگاه ‎AB‌‏ ماتریس پوچ توان خواهد بود.


ویژگی ۵. ماتریس صفر تنها ماتریسی است که هم خود توان و هم پوچ توان است.


ویژگی ۶. فرض کنید که ماتریس A‌‌‎ پوچ توان باشد. اگر تابع \(f(x)\)‏ یک تابع چندجمله‌ای با جمله ثابت صفر باشد، در اینصورت f(A)‎ یک ماتریس ‏پوچ توان است.



تمرین ۲. 
نشان دهید کدامیک از ماتریسهای زیر پوچ توان است. 

۱. \(A=\begin{bmatrix} 0&i&3i\\ 0&0&-1\\ 0&i&i \\ \end{bmatrix},  \lambda = 5i, \lambda A=?\)

۲. \(f(x)=x^2+x, f(A)=?\)

۳.  \(A=\begin{bmatrix} 0&i&3i\\ 0&0&-1\\ 0&i&i \\ \end{bmatrix} , B= \begin{bmatrix} 1&2&3i\\ 0&5&-1\\ 0&-i&i \\ \end{bmatrix},   AB=?\)

نظرات (0)

امتیاز 0 از 5 از بین 0 رای
هیچ نظری در اینجا وجود ندارد

نظر خود را اضافه کنید.

  1. ارسال نظر بعنوان یک مهمان ثبت نام یا ورود به حساب کاربری خود.
به این پست امتیاز دهید:
0 کاراکتر ها
پیوست ها (0 / 3)
مکان خود را به اشتراک بگذارید
عبارت تصویر زیر را بازنویسی کنید. واضح نیست؟

جدیدترین محصولات

فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (463)
فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پن...
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (473)
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل ...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ بازدید (566)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ بازدید (480)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ بازدید (487)
پاسخ تشریحی نمونه سوالات میانترم ریاضی م...

فایل های تصادفی

مقدمه و فهرست مطالب آنالیز عددی 1 پیام نور دکتر بابلیان مقدمه و فهرست مطالب آنالیز عددی 1 پیام ن... بازدید (19576)
نام کتاب: آنالیز عددی 1، نویسنده: دکتراس...
پاسخنامه تشریحی برنامه سازی پیشرفته پیام نور ترم دوم 94-93 همراه با برنامه پاسخنامه تشریحی برنامه سازی پیشرفته پیام... بازدید (18263)
پاسخنامه کاملا تشریحی برنامه سازی پیشرفت...
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی 2 صنعتی شریف مورخ 13940328 دکتر پورنکی پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی 2 صنعتی... بازدید (12689)
پاسخ تشریحی نمونه سوال پایانترم ریاضی عم...
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی یک - روشهای انتگرالگیری آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی یک - روشه... بازدید (10004)
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی یک - روشه...
کتاب مجموعه سوالات هوش و استعداد ریاضی کتاب مجموعه سوالات هوش و استعداد ریاضی... بازدید (3465)
بیش از ۵۰۰ سوال هوش و استعداد تحصیلی م...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (89521)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (41896)
کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبا...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (41373)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (38885)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (36049)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...

جشنواره ملی رسانه های دیجیتال

امنیت در پرداخت ها

تعداد بازدید مطالب
17294511

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا