سری تیلور

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

سری تیلور چیست؟

سری تیلور یک چندجمله‌ای از درجه نامتناهی است و برای نمایش توابع مختلفی که خودشان چندجمله‌ای نیستند، استفاده می‌شود.

تعریف سری تیلور :

فرض کنید \( f(x) \) یک تابع حقیقی است که در نقطه \( x = a \)‌ بی‌نهایت بار مشتق پذیر می‌باشد. سری تیلور تابع \( f(x) \)  را در نقطه‌ی \( x = a \) به صورت زیر ارائه می‌دهد:

\( \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)} (a) \frac{(x-a)^{n}}{n!} = f(a) + f^{\prime} (a) (x-a) + f^{\prime\prime} (a) \frac{(x-a)^{2}}{2!} + f^{(3)} (a) \frac{(x-a)^{3}}{3!} + \cdots\)

که به آن سری تیلور تابع \( f(x) \)‌ در نقطه \( a \)‌ می‌گوییم.

توجه داشته باشید که در فرمول بالا، \( f^{(n)} (a) \) به معنی مشتق  \( n \)‌م تابع \( f(x) \)  در نقطه‌ی \( x = a \) است.

روش محاسبه سری تیلور:

برای محاسبه سری تیلور یک تابع در نقطه داده شده، ابتدا مشتق تابع را گرفته و مقدار مشتق را در آن نقطه محاسبه می‌کنیم. سپس به ترتیب مشتق مرتبه دوم و سوم و ... را در نقطه داده شده محاسبه می کنیم. سپس مقادیر به دست آمده را در فرمول بالا جایگذاری کرده و بسط تیلور تابع به دست خواهد آمد.

اکنون با یک مثال به خوبی روش کار را ببینیم.

مثال: بسط تیلور تابع \( \cos x \) را حول نقطه \( x= \pi \)‌ به دست آورید.

حل: در این مثال \( f(x) = \cos x \) و \( a = \pi \) . ابتدا مقدار تابع در این نقطه را محاسبه می کنیم و سپس مشتقات تابع را در این نقطه حساب می‌کنیم.

\( f(x) = \cos x \Longrightarrow f (\pi) = \cos (\pi) = -1 \)

\( f(x) = \cos x \Longrightarrow f^{\prime} (x) = - \sin (x)  \Longrightarrow f^{\prime} (\pi) = - \sin (\pi) = 0 \)

\( f^{\prime}(x) = - \sin (x) \Longrightarrow f^{\prime\prime} (x) = - \cos (x)  \Longrightarrow f^{\prime\prime} (\pi) = - \cos (\pi) = - (-1) = 1 \)

\( f^{\prime\prime}(x) = - \cos (x) \Longrightarrow f^{(3)} (x) =  \sin (x)  \Longrightarrow f^{(3)} (\pi) =  \sin (\pi) = 0 \)

\( f^{(3)}(x) = \sin (x) \Longrightarrow f^{(4)} (x) =  \cos (x)  \Longrightarrow f^{(4)} (\pi) =  \cos (\pi) = -1 \)

و به همین ترتیب مشتق مراتب بالاتر در نقطه \( \pi \)  به صورت زیر تکرار خواهد شد:

\(  f^{(5)} (\pi) = 0  , f^{(6)} (\pi) = 1  , f^{(7)} (\pi) = 0  , f^{(8)} (\pi) = -1  , f^{(9)} (\pi) = 0  , \cdots  \)

بنابراین سری تیلور تابع \( \cos x \) در نقطه \( x= \pi \)‌ با جایگذاری مقادیر فوق در فرمول، به صورت زیر خواهد بود:

\( \begin{align*}  \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)} (\pi) \frac{(x-\pi)^{n}}{n!} &= f(\pi) + f^{\prime} (\pi) (x-\pi) + f^{\prime\prime} (\pi) \frac{(x-\pi)^{2}}{2!}  + f^{(3)} (\pi) \frac{(x-\pi)^{3}}{3!} + \cdots \\  &= -1 +  (0) (x-\pi) + 1\times \frac{(x-\pi)^{2}}{2!}  + 0 \times \frac{(x-\pi)^{3}}{3!} - 1 \times \frac{(x-\pi)^{4}}{4!} + 0 \times \frac{(x-\pi)^{5}}{5!} \\ & \qquad + 1 \times \frac{(x-\pi)^{6}}{6!} + 0 \times \frac{(x-\pi)^{7}}{7!} - 1 \times \frac{(x-\pi)^{8}}{8!} + 0 \times \frac{(x-\pi)^{9}}{9!} + \cdots  \\ & = -1 +\frac{(x-\pi)^{2}}{2!} -  \frac{(x-\pi)^{4}}{4!} + \frac{(x-\pi)^{6}}{6!} -\frac{(x-\pi)^{8}}{8!} + \cdots \\ & = -1 +\frac{1}{2!} (x-\pi)^{2} -  \frac{1}{4!} (x-\pi)^{4}+ \frac{1}{6!} (x-\pi)^{6} -\frac{1}{8!} (x-\pi)^{8} + \cdots \end{align*} \)

این چندجمله‌ای سری تیلور تابع \( \cos x \) حول نقطه \( x= \pi \)‌ می‌باشد. هرچه تعداد مراتب مشتق را بیشتر کنیم، دقت تخمین سری بیشتر خواهد شد و منحنی چندجمله‌ای بر منحنی تابع منطبق‌تر خواهد شد.

در شکل زیر شما نمودار سری‌های تیلور برای تابع \( \cos x \) در نقطه \( x= 0 \)‌ نمایش داده شده است. هرچه تعداد جملات بیشتری را انتخاب کنیم، تطابق دو منحنی بر هم بیشتر خواهد شد.

نمودار سری تیلور تابع کسینوس حول نقطه x=0 در سایت ریاضیات ایران

 حالا شما سری تیلور تابع \( \cos x \) در نقطه \( x= 0 \)‌ را محاسبه کنید و با شکل بالا آن را مقایسه کنید.

تمرین ۱: سری تیلور تابع \( f(x) = e^{x} \) در نقطه \( x= 0 \)‌ بیابید.

تمرین ۲: سری تیلور تابع \( f(x) = \sin x \) در نقطه \( x= 0 \)‌ بیابید.

نظرات (0)

امتیاز 0 از 5 از بین 0 رای
هیچ نظری در اینجا وجود ندارد

نظر خود را اضافه کنید.

  1. ارسال نظر بعنوان یک مهمان ثبت نام یا ورود به حساب کاربری خود.
به این پست امتیاز دهید:
0 کاراکتر ها
پیوست ها (0 / 3)
مکان خود را به اشتراک بگذارید
عبارت تصویر زیر را بازنویسی کنید. واضح نیست؟

جدیدترین محصولات

فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (463)
فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پن...
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (473)
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل ...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ بازدید (565)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ بازدید (479)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ بازدید (486)
پاسخ تشریحی نمونه سوالات میانترم ریاضی م...

فایل های تصادفی

پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعتی شریف 13921019 پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعت... بازدید (14508)
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعت...
حل تمرین ها، فعالیت ها و کاردرکلاس های هندسه 3 دبیرستان 97-98 حل تمرین ها، فعالیت ها و کاردرکلاس های ه... بازدید (9826)
حل تمرین ها، فعالیت ها و کاردرکلاس های ه...
حل تمرین حسابان ۲ حل تمرین حسابان ۲... بازدید (10897)
حل تمرین ها، کار در کلاس ها و فعالیت های...
پاسخنامه آزمون میانترم معادلات دیفرانسیل دانشگاه شاهرود 13930130 پاسخنامه آزمون میانترم معادلات دیفرانسیل... بازدید (13918)
پاسخ آزمون میانترم معادلات دیفرانسیل دان...
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی مهندسی 13891028 دکتر فتوحی دانشگاه صنعتی شریف پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی مهندسی 138910... بازدید (15608)
پاسخ تشریحی نمونه سوال پایانترم ریاضی مه...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (89519)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (41894)
کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبا...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (41372)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (38885)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (36049)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...

جشنواره ملی رسانه های دیجیتال

امنیت در پرداخت ها

تعداد بازدید مطالب
17292917

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا