مزدوج یک عدد مختلط
- مقطع تحصیلی: عمومی
مزدوج یک عدد مختلط: فرض کنید که \(p= a + ib \) یک عدد مختلط باشد. مزدوج مختلط این عدد را به گونه زیر تعریف می‌کنیم:
\( \overline{p} = a - ib \)
که عبارت فوق، از تغییر علامت قسمت موهومی عدد مختلط \(p\) به دست می‌آید. مزدوج مختلط عدد \(p\) را با نماد \( \overline{p}\) نمایش می‌دهند.
برای نمایش هندسی یک عدد مختلط، دستگاه مختصات زیر را در نظر بگیرید. در واقع در صفحه مختلط، مزدوج عدد مختلط p، قرینه نقطه متناظر با آن عدد بر روی صفحه مختلط، نسبت به محور xها می‌باشد.
با توجه به تعریف فوق می‌توان دریافت که اعداد حقیقی دارای مزدوج مختلطی برابر با خودشان می‌باشند، زیرا هر عدد حقیقی a را می‌توان به صورت زیر نمایش داد:
\( p = a+i0 \)
چون در عبارت فوق، قسمت موهومی صفر است، لذا مزدوج مختلط این عدد هیچ تغییری نمی‌کند. پس داریم:
\( \overline {p} = p \)
پس در نهايت نكته زير را خواهيم داشت:
نکته ۱. هر عددی که خودش با مزدوجش برابر باشد، حتما یک عدد حقیقی است.
مثال۱. مزدج مختلط اعداد زیر را بدست آورید.
اگر ضرب و تقسیم اعداد مختلط را نمی‌دانید، این صفحه را مطالعه کنید.
۱. \( z=a+2i ⇒\overline{z}= a - 2i\)
۲. \(z=3i ⇒ \overline{z}=-3i\)
۳. \(z=(i+1)(5i+2)=(2-5)+i(2+5) ⇒ \overline{z}=-3-7i\)
۴. \(z=2(i+1) ⇒ \overline{z}= -2i+2\)
۵. \(z=\frac{2i+1}{3i+5} =\frac{(2i+1)(5-3i)}{(5-3i)(5+3i)}= \frac{(5+6)+(10-3)i}{25+9}=\frac{11}{34} + \frac{7}{34}i ⇒ \overline{z}=\frac{11}{34} - \frac{7}{34}i\)
تمرین ۱. مزدوج مختلط اعداد زیر را بدست آورید.
۱. \( \frac{ \overline {50+1}}{3i}\)
۲. \(\overline{2i(6i+1)}\)
۳. \(\overline {i(i+1)(2i+5)} \)
