ترانهاده ماتریس و ویژگی‌های آن

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

تعریف ترانهاده یک ماتریس: ماتریسی که از جابه‌جایی جای عناصر سطر و ستون یک ماتریس حاصل می‌شود را ترانهادهٔ آن ماتریس می‌گویند. یا به عبارت دیگر، فرض کنید \(A=[a_{ij}]‎\) یک‎ ماتریس ‏از مرتبه ‎\(‎m‎\times n ‌‌‌‎\)‌‎ باشد‏، ماتریس ‏از مرتبه ‎\(‎ n‎\times ‎m‎\)‌‌‏ که به وسیله تعویض سطرهای ماتریس A‌‏ ‌‎با‎ ستون‌های آن به دست می‌آید را ترانهاده ماتریس A‌‌‎ می‌گویند. ترانهاده ماتریس A را با نمادهای ‎\(‌‎ ‎A‎^{T} ‌‎\)‌‎ یا ‎\( ‎A‎^{‎t‎} \)‌‏ نشان می‌دهیم. بصورت نمادهای ریاضی می‌توان ترانهاده یک ماتریس را به گونه زیر بیان نمود:

‎\( ‎A = [a‎_{ij}]‎_{‎m ‎\times ‎n‎}‎ ‌‎\rightarrow‎ A^T = [a‎_{ji}]‎_{‎m ‎\times ‎n‎} \)‌‎

روش محاسبه ترانهاده یک ماتریس در سایت ریاضیات ایران


‌‏مثال ۱. فرض کنید که ‎\( A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 5 & 6 & 7 \end{bmatrix} \)‎ باشد. در اینصورت ترانهاده این ماتریس به صورت زیر خواهد شد:

\( A^{T}‎ = \begin{bmatrix}1 & 5 \\ 2 & 6 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} \)‎ ‌‎ ‎ 


مثال ۲. فرض کنید ‎\( A = \begin{bmatrix}‎5‎ & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \)‌‏ باشد‏، در این صورت ‎\( A^{T}‎ = \begin{bmatrix}5 & 7 \\ 6 & 8 \end{bmatrix} \)‎ ‌‎ ‎ خواهد‎ بود. مشاهده می‌شود که در ترانهاده ماتریس‌های مربعی جای عناصر بر روی قطر اصلی در ماتریس ترانهاده با ماتریس اولیه یکی است.


درباره ماتریس ترانهاده ویژگی‌های زیر را داریم:

ویژگی ۱.‎ .\( (A^{T})^{T} = A \)‎ ‌‎ ‎در‎ واقع این موضوع بیان می‌کند که ترانهاده‏، ترانهاده یک ماتریس با خود آن ماتریس برابر خواهد شد.

مثال۳. ‎\( A = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 5 & 6 & 7 \end{bmatrix} \)‎ در این صورت ‎\( A^T= \begin{bmatrix}1 & 5 \\ 2 & 6 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} \)‎ و ‎\( ‎(‎A^{T})^{T} = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 5 & 6 & 7 \end{bmatrix} \)‌‏ خواهد بود.

ویژگی 2. ‎\( ‎(A+B‎)^{T} = A^{T} + B^{T} \)‌‏. این موضوع بیان می‌کند که ترانهاده خاصیت پخش شدن را دارد.

مثال ۴. ‎\( A = \begin{bmatrix}‎5‎ & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \)‎ و ‎\( ‎B‎ = \begin{bmatrix}8‎ & 9 \\ 10 & 11 \end{bmatrix} \)‌‏ در این صورت

\(A^T =\begin{bmatrix}5 & 7\\ 6 & 8\end{bmatrix}\)

\(B^T = \begin{bmatrix} 8 & 10\\ 9 & 11 \end{bmatrix}\)

و داریم:

‎\( ‎(A+B)‎ = \begin{bmatrix}5 +‎ ‎8‎ & 9 + 6 \\ 10 + 7 & 8 +11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}13‎ & 15 \\ 17 & 19 \end{bmatrix}\)

\(‎(A+B)^T= \begin{bmatrix}13‎ & 17 \\ 15 & 19 \end{bmatrix} \) ‌‎ ‎

از‎ طرفی ‎\( A^{T} + B‎^T= \begin{bmatrix}13‎ & 17 \\ 11 & 19 \end{bmatrix} \)‌‏ خواهد بود.

ویژگی 3.\( ‎(AB‎)^{T} = B^{T} A^{T} \)‎.

مثال ۵.  ‎\( A = \begin{bmatrix}1‎ & 5 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)‎ و ‎\( ‎B‎ = \begin{bmatrix}1‎ & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)‎ ‏باشد. در اینصورت

\(AB=\begin{bmatrix}1 & 10\\ 0 & 4 \end{bmatrix}\)

\((AB)^T= \begin{bmatrix}1 & 0\\ 10 & 4 \end{bmatrix}\)

و 

\(B^T A^T =\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1& 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1&0\\ 10&4\end{bmatrix}\)

ویژگی 4. ماتربس مربعی A‌‌‌‏ وارون پذیر است اگر و فقط اگر ‎\(‎ A‎^T ‌‌‎\)‌‌‌‏ وارون پذیر باشد.

زماني كه ماتربس A وارون پذير است لذا ماتربس Bاي موجود است به قسمي كه داريم \(AB=I\)  است. با گرفتن ترانهاده از آن خواهيم داشت:

‌‎\( ‎(AB)^T =‎ I‎ ‌‎\rightarrow B^T‎ A‎^T =‎ ‎I‎ \)‌‎

پس در نتيجه \(A^T\) وارون پذير است. برای زمانی که \(A^T\) وارون پذیر است نیز به صورت مشابه عمل کنید.

ویژگی 5. اگر c یک اسکالر باشد. داریم:

\((cA)^T = cA^T\) 

مثال ۶. مفروض است ‎\( A = \begin{bmatrix}1‎ & 5 \\ 7 & 2 \end{bmatrix} \)‎ و  c‎ =‎ 5 ‌‌‎.‏ ‎

‎\( ‎  ‎\Longrightarrow‎ ‎A ^ {T} = \begin{bmatrix}1 & 7 \\ 5 & 2 \end{bmatrix} , c‎A = \begin{bmatrix}5‎ & 25 \\ 35 & 10 \end{bmatrix} ‎\Longrightarrow (cA)^{T} =‎ ‎cA ^ {T} = \begin{bmatrix}5‎ & 35 \\ 25 & 10 \end{bmatrix} \)


تمرین ۱. ترانهاده ماتریس‌های زیر را به دست آورید.

۱. \(A=\begin{bmatrix}5‎ & 25 &0\\ 35 & 10&1 \end{bmatrix} ‎\)

۲. \(A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}\) , \(B=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 5 & x \end{bmatrix}\) ⇒ \((AB)^T\)

نظرات (0)

امتیاز 0 از 5 از بین 0 رای
هیچ نظری در اینجا وجود ندارد

نظر خود را اضافه کنید.

  1. ارسال نظر بعنوان یک مهمان ثبت نام یا ورود به حساب کاربری خود.
به این پست امتیاز دهید:
0 کاراکتر ها
پیوست ها (0 / 3)
مکان خود را به اشتراک بگذارید
عبارت تصویر زیر را بازنویسی کنید. واضح نیست؟

جدیدترین محصولات

فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (463)
فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پن...
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (473)
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل ...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ بازدید (565)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ بازدید (479)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ بازدید (486)
پاسخ تشریحی نمونه سوالات میانترم ریاضی م...

فایل های تصادفی

پاسخ تشریحی میانترم ریاضی عمومی دو صنعتی شریف آذر 1395 پاسخ تشریحی میانترم ریاضی عمومی دو صنعتی... بازدید (18791)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی عمومی یک دانشگ...
جزوه هوش مصنوعی استاد شریفی زاده ترم دوم 96-1395 جزوه هوش مصنوعی استاد شریفی زاده ترم دوم... بازدید (1653)
جزوه هوش مصنوعی استاد شریفی زاده ترم دوم...
جزوه تحقیق در عملیات 1 دکتر عشقی دانشگاه صنعتی شریف جزوه تحقیق در عملیات 1 دکتر عشقی دانشگاه... بازدید (18802)
جزوه دست نویس تحقیق در عملیات 1 دکتر عشق...
حل تمرین ها، فعالیت ها و کاردرکلاس های هندسه 3 دبیرستان 97-98 حل تمرین ها، فعالیت ها و کاردرکلاس های ه... بازدید (9825)
حل تمرین ها، فعالیت ها و کاردرکلاس های ه...
کتاب بازگشت به منزل آخر دکتر میرزاوزیری کتاب بازگشت به منزل آخر دکتر میرزاوزیری... بازدید (10676)
کتاب بازگشت به منزل آخر دکتر میرزاوزیری...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (89519)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (41894)
کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبا...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (41372)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (38885)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (36049)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...

جشنواره ملی رسانه های دیجیتال

امنیت در پرداخت ها

تعداد بازدید مطالب
17292502

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا