دترمینان

مقطع تحصیلی: کارشناسی
غیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستاره
 

تعریف دترمینان: فرض کنید که \(A = [a_{ij}]\) یک ماتریس مربعی از مرتبه \(n\) به صورت زیر باشد:

\(A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&.&.&.&a_{1n}\\.&.&.&.&.&.\\.&&&&&.\\.&&&&&.\\.&&&&&.\\a_{n1}&a_{n2}&.&.&.&a_{nn}\end{bmatrix}\)

ابتدا یادآوری کنیم که نمایش ماتریس \(A\) به صورت بردارهای ستونی به شکل زیر خواهد بود:

\(\begin{bmatrix}a_1 & .&.&. & a_n \end{bmatrix}\)

که \(a_j\) ستون jم ماتریس می‌باشد. یعنی به ازای \(1 \leq j \leq n\) برداری از مرتبه \(n \times 1\) داریم:

\(a_{j}=\begin{bmatrix}a_{1j} \\ a_{2j} \\ . \\. \\. \\ a_{nj}\end{bmatrix}\)

در این صورت دترمینان ماتریس \(A\) را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

\(det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} (sgn( \sigma) \prod_{i=1}^n a_{i , \sigma_i})\)

و به صورت \( det(A) = \left| A \right| \)  نشان می‌دهیم.

در واقع فرمول بالا مجموع را بر روی تمام جایگشت‌های \(\sigma\) از مجموعه \(\{ 1 ... , n \}\) محاسبه می‌کند. نماد \(\prod_{i=1}^n a_i , \sigma_i\) در واقع حاصلضرب \(a_{1,\sigma_1}\times a_{2,\sigma_2}...\times a_{n,\sigma_n}\) را نشان می‌دهد.


مثال ۱. فرض کنید که \(A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 5 \end{bmatrix}\) باشد. دترمینان ماتریس \(A\) را محاسبه کنید.

چون \(A\) یک ماتریس \(2 \times 2\) می‌باشد. پس \(S = \{ 1, 2 \}\) در نظر گرفته و تمام جایگشت‌های آن به صورت زیر خواهد بود:

\(S_2 = \{ \alpha = \begin{pmatrix}1 & 2 \\1 & 2 \end{pmatrix} , \beta = \begin{pmatrix}1 & 2 \\2 & 1 \end{pmatrix} \}\)

دترمینان این ماتریس با توجه به تعریف دترمینان به صورت زیر به دست خواهد آمد:

\(det(A) = det (\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &5 \end{bmatrix}) = \sum_{\sigma \in S_2} sgn(\sigma) a_{1 , \sigma(1)}a_{2 , \sigma(2)} = sgn(\alpha) a_{1 , \alpha (1)} a_{2 , \alpha (2)} + sgn ( \beta) a_{1 , \beta(1)} a_{2  , \beta(2)}\)

حال با توجه به مفاهیم جایگشت‌های زوج و فرد داریم:

\(sgn(\alpha) =1,\:\:\: sgn( \beta) = -1\)

و از طرفی داریم:

\(\alpha(1) = 1 ,\:\: \alpha(2) = 2\)

\(\beta(1) = 2 ,\:\: \beta(2) = 1\)

پس در نتیجه دترمینان این ماتریس برابر خواهد بود با

\(det(A) = 1 \times a_{11} a_{22} + (-1) \times a_{12}a_{22} = 1 \times 1 \times 5 - 2 \times 3 = 5 -6 = -1\)


نکته ۱. \(A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\) یک ماتریس از مرتبه \( 2 \times 2\) باشد. در این صورت با توجه به تعریف دترمینان، مقدار دترمینان ماتریس \(2 \times 2\) برابر خواهد شد با

\(det(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}\)


تمرین ۱. دترمینان ماتریس  \(3 \times 3\) زیر را محاسبه کنید:

\(\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\)


تمرین ۲. دترمینان ماتریسهای زیر را محاسبه کنید.

۱. \(A = \begin{bmatrix}1 & 5 & 7 \\8 & 9 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)

۲. \(B = \begin{bmatrix}1 & 5 & 3 \\2 & 1 & 4 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\)

۳. \(C = \begin{bmatrix}1 & 5 \\0 & 3 \end{bmatrix}\)

نظرات (0)

امتیاز 0 از 5 از بین 0 رای
هیچ نظری در اینجا وجود ندارد

نظر خود را اضافه کنید.

  1. ارسال نظر بعنوان یک مهمان ثبت نام یا ورود به حساب کاربری خود.
به این پست امتیاز دهید:
0 کاراکتر ها
پیوست ها (0 / 3)
مکان خود را به اشتراک بگذارید
عبارت تصویر زیر را بازنویسی کنید. واضح نیست؟

جدیدترین محصولات

فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (463)
فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پن...
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (473)
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل ...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ بازدید (566)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ بازدید (480)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ بازدید (487)
پاسخ تشریحی نمونه سوالات میانترم ریاضی م...

فایل های تصادفی

جزوه جبر یک دکتر خسروی دانشگاه صنعتی امیرکبیر 96-97 جزوه جبر یک دکتر خسروی دانشگاه صنعتی امی... بازدید (10386)
جزوه جبر یک دکتر خسروی دانشگاه صنعتی امی...
جزوه جبر 1 دکتر بهرامیان دانشگاه کاشان جزوه جبر 1 دکتر بهرامیان دانشگاه کاشان... بازدید (21481)
جزوه کامل جبر 1 دکتر بهرامیان دانشگاه کا...
Cambridge International AS and A Level Mathematics February March 2020 9709 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level M... بازدید (1635)
Cambridge International AS and A Level M...
Cambridge International AS and A Level Mathematics February March 2022 9709 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level M... بازدید (1259)
Cambridge International AS and A Level M...
کتاب سرنوشت پدرم، دکتر میرزاوزیری کتاب سرنوشت پدرم، دکتر میرزاوزیری... بازدید (10074)
کتاب سرنوشت پدرم نوشته دکتر میرزاوزیری...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (89521)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (41896)
کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبا...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (41373)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (38885)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (36049)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...

جشنواره ملی رسانه های دیجیتال

امنیت در پرداخت ها

تعداد بازدید مطالب
17294606

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا