معادله دیفرانسیل همگن

رای دهی: 4 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستاره
 

به نام خدا

الـهم صل علي مـحمد و آل محـمد


براي اينکه بدانيم معادلات ديفرانسيل همگن چه معادله ايست، ابتدا بايستي توابع همگن را بشناسيم و با برخي از ويژگي هاي آن آشنا شويم. در اين درس ابتدا به معرفي تابع همگن مي پردازيم و سپس معادله همگن را تعريف کرده و به چگونگي حل آن ها مي پردازيم.

تعريف تابع همگن:

تابع را تابع همگن ِ مرتبه ي n گوييم هرگاه براي هر t، داشته باشيم

البته بايد به خاطر داشته باشيم که تابع f ، در نقاط x و tx ، تعريف شده باشد.

تابع نمونه اي از تابع همگن مرتبه 2 است زيرا براي هر tx ، t در دامنه ي f است و داريم :

تابع همگن براي توابع چند متغيره نيز تعريف مي شود. چون در اين درس، بيشتر با توابع دو متغيره سر و کار داريم ، تعريف تابع همگن دو متغيره را نيز بيان مي کنيم.

 

تعريف تابع همگن دو متغيره:

تابع را تابع همگن ِ مرتبه ي n گوييم هرگاه براي هر t داشته باشيم

به شرط اينکه نقاط در دامنه ي تابع باشند.

 

ويژگي هاي تابع همگن:

اگر توابع و ، همگن مرتبه ي n باشند، آنگاه توابع همگن مرتبه ي n و تابع همگن مرتبه ي 2n و تابع ، با شرط ، همگن مرتبه ي صفر است.

اثبات اين ويژگي ها ساده است و تنها با بکار بردن تعريف به دست مي آيد. براي نمونه نشان مي دهيم که تابع خارج قسمت، همگن مرتبه ي صفر است.

اکنون آمادگي پذيرش مفهوم معادله ديفرانسيل ِ همگن هستيم :

 

تعريف معادله ديفرانسيل همگن:

اگر توابع ، در معادله ديفرانسيل مرتبه اول ِ

توابعي همگن ِ همدرجه ، مثلا ً از درجه ي n باشند، آنگاه گوييم معادله معادله ديفرانسيل همگن مرتبه ي n است.

اين تعريف همسنگ تعريف زير است :

معادله ي

يک معادله ديفرانسيل همگن است اگر تابع ، همگن از درجه ي صفر باشد.

نکته 2.2: هر تابع ثابت، يک تابع همگن از مرتبه ي صفر است ولي عکس آن درست نيست. يعني توابع همگن مرتبه ي صفر ، لزوما ً ثابت نيستند. براي نمونه تابع

همگن مرتبه ي صفر است که ثابت نيست.

 

چگونگي حل معادله همگن:

معادلات همگن ، با يک تغيير متغير مناسب ، به معادلات جداپذير تبديل مي شوند. پس مي توانستيم اين معادلات را در دسته ي معادلات جداپذير شدني قرار دهيم؛ اما چون معادلات همگن شکل ونام ويژه اي دارند و حتي دسته اي از معادلات همگن شدني هستند، آن ها را جداگانه بررسي مي کنيم.

معادله همگن را در نظر بگيريد. به ياد داريم که تابع ، همگن از مرتبه ي صفر است. پس براي هر t داريم :

اکنون اگر به t مقدار ويژه ي را نسبت دهيم ، يعني قراردهيم ، معادله ي به صورت زير تبديل مي شود:

اکنون تغيير متغير را انتخاب مي کنيم. داريم :

و همچنين

 

اکنون در رابطه ي ، از رابطه هاي و مقدار مي گذاريم :

که معادله ي ، يک معادله جداپذير استاندارد بر حسب x و z است که در قسمت هاي قبل چگونگي حل آن را آموختيم. پس از حل به جاي z ، مقدار آن يعني را قرار مي دهيم و معادله حاصل را مرتب مي کنيم.

به مثال زير توجه کنيد.

مثال 9.2: ابتدا نشان دهيد معادله ي يک معادله همگن است و سپس جواب عمومي آن را بيابيد.

حل: در اين مثال و هر دو ، توابعي همگن مرتبه ي اول هستند، پس معادله داده شده همگن است.

با قرار دادن داريم:

و y = z x ، پس:

بنابراين:

اکنون قرار مي دهيم :

که اين جواب عمومي معادله داده شده است.

 

نظرات (0)

امتیاز 0 از 5 از بین 0 رای
هیچ نظری در اینجا وجود ندارد

نظر خود را اضافه کنید.

  1. ارسال نظر بعنوان یک مهمان ثبت نام یا ورود به حساب کاربری خود.
به این پست امتیاز دهید:
0 کاراکتر ها
پیوست ها (0 / 3)
مکان خود را به اشتراک بگذارید
عبارت تصویر زیر را بازنویسی کنید. واضح نیست؟

جدیدترین محصولات

فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (463)
فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پن...
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (474)
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل ...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ بازدید (569)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ بازدید (483)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ بازدید (490)
پاسخ تشریحی نمونه سوالات میانترم ریاضی م...

فایل های تصادفی

پاسخ تشریحی پایان ترم معادلات دیفرانسیل صنعتی امیرکبیر 13881023 پاسخ تشریحی پایان ترم معادلات دیفرانسیل ... بازدید (16490)
جواب تشریحی کامل پایان ترم معادلات دیفرا...
پاسخنامه تشریحی سوالات تستی ریاضی1 پیام نور رشته ریاضی نیم سال دوم 90-89 کد یک پاسخنامه تشریحی سوالات تستی ریاضی1 پیام ... بازدید (19449)
پاسخنامه تشریحی سوالات تستی ریاضی1 پیام ...
یادگیری ریاضیات به عنوان زبان دوم جلد اول دکتر میرزاوزیری یادگیری ریاضیات به عنوان زبان دوم جلد او... بازدید (11627)
فایل pdf کتاب یادگیری ریاضیات به عنوان ز...
کتاب آمادگی برای مسابقه شهر ریاضی دکتر میرزاوزیری کتاب آمادگی برای مسابقه شهر ریاضی دکتر م... بازدید (15038)
کتاب آمادگی برای مسابقه شهر ریاضی دکتر م...
 نخستین درس در جبر مجرد فرالی، مقدمه و فهرست مطالب نخستین درس در جبر مجرد فرالی، مقدمه و ف... بازدید (18783)
فهرست مطالب و مقدمه کتاب نخستین درس در ج...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (89524)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (41897)
کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبا...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (41373)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (38885)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (36049)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...

جشنواره ملی رسانه های دیجیتال

امنیت در پرداخت ها

تعداد بازدید مطالب
17298345

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا