زیرگروه، تعریف، مثال، تمرین

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

تعریف زیر گروه: فرض کنید ‎\( ‎G ‌‎\neq ‎\emptyset \)‎ ‌‎‎ همراه‎ با عمل دوتايي * که بر روی آن تعریف شده است، تشکیل یک گروه بدهد. مجموعه ‌ناتهی\( ‌‎H‎ ‌‎\subseteq ‎G‎ \)‌‏ را زيرگروه G تحت عمل دوتایی * گويند، هرگاه H تحت عمل دوتایی * خود تشکیل یک گروه بدهد. H‌‌‎ زیر گروه G‎ ‌‎ را نماد ‎\( H‎ ‌‎\leq ‎G‎ \)‎ ‏نشان می‌دهیم.

نکته ۱. هر گروه G‌‌‌‏ زیرگروه خودش می‌باشد.

نکته ۲. اگر e‌‌‌‏ عنصر همانی گروه G‌‌‏ باشد، در این صورت مجموعه ‌‎\(‎\{e\}‎\)‌‌‏ یک زیرگروه G‌‌‏ می‌باشد. به این زیرگروه بدیهی G‌‌‎ می‌گویند.

مثال ۱. نشان دهید که ‎\( ‎(\mathbb{Z},+)‎ ‎\leq ‎(\mathbb{R},+)‎ \)‌‏ است.

حل: برای این منظور کافی است ثابت کنیم که ‌‎\(‎(\mathbb{Z},+)‎\)‌‌ یک گروه می‌باشد.

۱. چون به ازای هر ‎\(‌‌‎a,b \in \mathbb{Z}‎\)‌‏ ‌‌‏بگیریم ‌‎\(‎a+b \in \mathbb{Z}‎\)‎ ‏لذا \( \mathbb{Z} \) ‏ نسبت به عمل دوتایی جمع بسته است.

۲. چون به ازای هر ‎\(‌‌‎a,b,c \in \mathbb{Z}‎\)‌‏ می‎گیریم ‌‎ ‌‌‎\( ‌‎(a*b)*c =‎ ‎a*(b*c)‎\)‌‎ در این صورت \( \mathbb{Z} \)‎ تحت عمل دوتایی جمع شرکت پذیر می‌باشد.

۳. عضو همانی در مجموعه ‎\( \mathbb{Z} \) همراه با عمل دوتایی جمع معمولی یک می‌باشد. زیرا به ازای هر ‎\(‎ a‎ ‎\in \mathbb{Z} ‌‌‌‎\)‌‌‏ داریم: ‎\(‌‎ ‎a*1 =‎ ‎1*a ‎=a ‌‎\).

۴. ‏قرینه هر عدد در مجموعه \( \mathbb{Z} \) تحت عمل دوتایی جمع معمولی‏، عضو وارون در مجموعه Z‌‌‌‏ می‌باشد.

در نتیجه \((\mathbb{Z} , +) \leq (\mathbb{R} , +)\) خواهد بود.

مثال ۲. ثابت کنید که ‌‎ ‌‎\( (n\mathbb{Z},+)‎\leq ‎(\mathbb{Z},+)‎ \)‌‎است.

حل: کافی است ثابت کنیم که\( \mathbb{Z} \) ‎ ‎ تحت‎ عمل دوتایی جمع یک گروه است.

۱. چون به ازای هر عضو \(‌‌‎a,b \in \mathbb{Z} ‎\)‌‏ بگیریم، دا‌‏ریم ‎ ،\( a‎ =‎ ‎nk_{2},‎ b‎ =‎ ‎nk_{1} \)‎ ‌‎ ‎لذا ‎ ‎\( ‎a+b =‎ ‎n(k‎_{1} + k_{2}‎) \) در نتیجه‎ \( ‎a+b ‎\in ‎n\mathbb{Z} \)‎‎ ‎است.‎ پس نسبت به عمل دوتایی جمع بسته می‌باشد.

۲. چون به ازای هر عضو ‎\(‎a , b,c ‎\in ‎n\mathbb{Z}‎\)‌‌‏ بگیریم ‎\(‌‌‎a=nk1‎\)‌‏ و ‎\(‌‌‎b=nk2‎\)‌‏ و ‎\(‌‌‎c=nk3‌‎\)‌‌‌‎ لذا داریم:

\((a*b)*c= (nk_1 + nk_2)+nk_3=n(k_1+k_2+k_3)= a*(b*c)\)

لذا شرکتپذیر خواهد شد.

۳. صفر به عنوان عضو وارون این مجموعه تحت عمل دوتایی + در نظر گرفته خواهد شد، زیرا به ازای هر ‎\(‎a ‎\in ‎n\mathbb{Z}‎\)‌‌‏ داریم ‎\(‌‌‎a+0 = 0+a = a‎\)‌‏.

۴. چون به ازای هر ‎\(‌‌‎a\in n\mathbb{Z}‎\)‌‏ بگیریم ‎\(‎ a‎ =‎ ‎nk‎\)‌‌‏ ‌‌‏عضو منحصر به فرد ‎\(‌‌‎b=-nk‎\)‌‏ موجود است به قسمی که ‎\(‌‌‎a+b = b+a=0‎\)‌ ‏است. لذا ‌‎ \( (n\mathbb{Z},+) \)‎ ‌‎ ‎زیر‎گروهی از ‎\(‌‌‎(\mathbb{Z},+)‎\)‌‏ خواهد بود.


قضیه ۱. اگر H‎ ‌‏زیر‎مجموعه G‌‌‌‏ باشد در این صورت H‌‌‌‏ زیرگروه G‌‌‌‏ است اگر و فقط اگر

الف. \( ‎\forall ‎a,b ‎\in H‎ \rightarrow‎ ‎ab ‎\in ‎H‎ \)‎

ب. \( ‎\forall ‎a ‎\in H‎ \rightarrow ‎a‎^{-1}‎ ‎\in ‎H‎ \)‎

‌‏اثبات: اگر H‌‌‌‏ زیرگروه باشد‏، چون H ‏نسبت به عمل دوتایی G‌‌‌‏ خود یک گروه می‌باشد، دو خاصیت الف و ب برقرار است. حال فرض کنید که خاصیت‌های الف و ب برقرار باشد، ثابت می‌کنیم که H‎ ‌‏زیر‎گروهG‎ ‌‎ است. ویژگی الف، بسته بودن نسبت به عمل دوتایی را ثابت می‌کند. ویژگی ب، وارون داشتن هر عضو را ثابت می‌کند. حال چون ‎\(‌‌‎a,a‎^{-1} ‎\in ‎H‎\)‌‌‏ است، لذا ‎\(‌‌‎e=aa^{-1} ‎\in ‎H‎\)‌ ‏پس وجود‎ عضو همانی در H‎ ‌‏ثابت خواهد‎ شد. پس نتیجه می‌گیریم که ‎\(‌‌‎H‎\leq G‎\)‌‌‏ است.


مثال ۳. هرگاهG ‎ یک گروه و ‎\(‌‌‎a\in G‎\)‌‏ عضوی از آن باشد، آنگاه تعریف می‌کنیم:

‌‎\( <a>: =\{ g \in G | g = a‎^{i} ,‎ ‎for\: ‎some\: i‎ ‎\in ‎\mathbb{Z}\}‌‎ \)‌‎

‏در این صورت <a> ‏یک زیرگروه G‌‌‌‎ است و زیرگروه تولید شده توسط a‎ ‌‎ خوانده می‌شود.

طبق قضیه ۱ عمل می‌کنیم به ازای هر ‎\( ‎g‎_{1},g_{2} ‎\in ‎<a>‎ \)‌‏ بگیریم ‎\(‎‎g_1g_2= ‎a^i ‎a^j ‎=a^{i+j}\in ‎<a>‎‎\)‎‏ خواهد شد، لذا شرط اول برقرار است. شرط دوم را نیز بدست می‌آوریم، یعنی به ازای هر ‎\( ‎g‎=a^{i} ‎\in ‎<a>‎ \)‎ می‌گیریم داریم عضو منحصر به فردی چون ‎\(‌‌‎g‎_{1}=a‎^{-i}‎\)‌‌‌‏ به گونه‌ای که ‎\(‌‌‎g*g‎_{1}=a‎^{i}*a^{-i} =‎ ‎a^{0} =‎ e‎\)‎ لذا ‎\(‌‌‎<a> ‎\leq G‎\)‌‌‏ خواهد بود.


تمرین. ثایت کنید مجموعه \(‌‌‎SL‎_{n}(\mathbb{R})‎\)‌‌‏ یعنی مجموعه تمام ماتریس‌های وارون نیز با دترمینان برابر یک زیرگروه مجموعه تمام ماتریس‌های ‎\( ‎G‎L‎_{n}(\mathbb{R}) \)‌‏ می باشد.

نظرات (0)

امتیاز 0 از 5 از بین 0 رای
هیچ نظری در اینجا وجود ندارد

نظر خود را اضافه کنید.

  1. ارسال نظر بعنوان یک مهمان ثبت نام یا ورود به حساب کاربری خود.
به این پست امتیاز دهید:
0 کاراکتر ها
پیوست ها (0 / 3)
مکان خود را به اشتراک بگذارید
عبارت تصویر زیر را بازنویسی کنید. واضح نیست؟

جدیدترین محصولات

فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (463)
فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پن...
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (473)
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل ...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ بازدید (567)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ بازدید (480)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ بازدید (487)
پاسخ تشریحی نمونه سوالات میانترم ریاضی م...

فایل های تصادفی

آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی یک - اعداد مختلط آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی یک - اعدا... بازدید (10879)
این مجموعه شامل 25 سوال حل شده از بخش اع...
نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل هفتم تقریب- فایل word شماره ۱ نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل هفتم تقریب... بازدید (3831)
نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل هفتم تقریب...
پاسخ تشریحی پایانترم آمار و احتمال مهندسی شریف 13951018 استاد تقوی طلب پاسخ تشریحی پایانترم آمار و احتمال مهندس... بازدید (12804)
پاسخ تشریحی آزمون پایانترم آمار و احتمال...
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعتی شریف 13921019 پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعت... بازدید (14508)
پاسخ تشریحی پایانترم ریاضی عمومی یک صنعت...
حل المسائل معادلات دیفرانسیل کرایه چیان حل المسائل معادلات دیفرانسیل کرایه چیان... بازدید (34239)
حل المسائل معادلات دیفرانسیل کرایه چیان...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (89522)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (41896)
کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبا...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (41373)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (38885)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (36049)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...

جشنواره ملی رسانه های دیجیتال

امنیت در پرداخت ها

تعداد بازدید مطالب
17294726

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا