ویژگی‌های ماتریس پادمتقارن

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

ویژگی‌های ماتریس پاد متقارن: در این مطلب سعی داریم تمام ویژگی‌های واقع شده بر ماتریس‌های پاد متقارن را بیان کنیم.

ویژگی ۱. فرض کنید A و B دو ماتریس مربعی، پاد متقارن و \( \lambda \) یک اسکالر باشد. در اینصورت ماتریس‌های \( \lambda A \) و \( A+B \) پادمتقارن می‌باشند.

مثال ۱. دو ماتریس مربعی A و B را به صورت زیر تعریف می‌کنیم و همچنین اسکالر \( \lambda = 2i \) را در نظر بگیرید. 

\( A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & i \\ -1 & 0 & 1 \\ -i & -1 & 0 \end{bmatrix} \)

\( B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i \\ 0 & i & 0 \end{bmatrix} \)

نشان دهید کدامیک از این دو ماتریس‌، ماتریس متقارن و کدامیک ماتریس پادمتقارن است و عبارات \( A+B \) ،\( \lambda A \) و \( \lambda B \) را نیز محاسبه کرده و بگویید کدامیک متقارن یا پادمتقارن است.

بنا بر تعریف، برای اینکه یک ماتریس متقارن باشد کافی است درایه‌های آن ماتریس‌ نسبت به قطر اصلی متقارن باشند. همچنین برای اینکه یک ماتریس پادمتقارن باشد کافی است درایه‌های روی قطر اصلی در درجه اول صفر باشند و در نهایت اینکه عناصر نسبت به قطر اصلی قرینه یکدیگر باشند. با توجه به این عبارات داریم، که ماتریس‌ A یک ماتریس پادمتقارن است و ماتریس‌  B یک ماتریس متقارن می‌باشند.

حال عبارات \( A+B \) ،\( \lambda A \) و \( \lambda B \) را محاسبه می‌کنیم، لذا داریم:

\( \lambda A = 2i \begin{bmatrix} 0 & 1 & i \\ -1 & 0 & 1 \\ -i & -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2i & -2 \\ -2i & 0 & 2i \\ -2 & -2i & 0 \end{bmatrix} \)

با توجه به تعریف یک ماتریس پاد متقارن، \( \lambda A \) پاد متقارن می‌باشد. همچنین داریم:

\( \lambda B = 2i \begin{bmatrix} 1 & 0 & i \\ 0 & 0 & i \\ 0 & i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2i & 0 & -2 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 0 \end{bmatrix} \)

با توجه به تعریف یک ماتریس متقارن، \( \lambda B \) متقارن می‌باشد.

به عنوان تمرین \( \lambda (A+B) \) را محاسبه کنید و بیان کنید که آیا این ماتریس‌، یک ماتریس متقارن است یا پادمتقارن؟


ویژگی ۲. فرض کنید A و B دو ماتریس مربعی و پاد متقارن باشند. در اینصورت در حالت کلی \( AB \) یک ماتریس پادمتقارن نخواهد بود. زمانی که A و B تعویض پذیر باشند. در اینصورت \( AB \) متقارن خواهد بود. زیرا داریم.

\( (AB)^{T} = B^{T}A^{T} = (-B)(-A) = BA = AB \)

مثال ۲. فرض کنید که A و B دو ماتریس پادمتقارن و به صورت زیر تعریف شده باشند. نشان دهید که AB لزوماً پادمتقارن نخواهد بود.

\( A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)

\( B = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{bmatrix} \)

در نتيجه ضرب ماتريس‌ها داريم:

\( AB = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)

در نتیجه ماتریس‌ حاصل شده يك ماتريس پادمتقارن نخواهد بود، زیرا درایه‌های بر روی قطر اصلی آن صفر نمی‌باشد.


تمرین ۱. دو ماتریس پادمتقارن مثال بزنید که \( AB \) متقارن باشند.


ویژگی ۳. فرض کنید که \(A\) یک ماتریس مربعی و پادمتقارن باشد. در اینصورت به ازای هر \( n \in \mathbb{N} \) بگیریم، دو حالت زیر را خواهیم داشت:

۱. اگر n زوج باشد، آنگاه \( A^{n} \) متقارن است.

۲. اگر n فرد باشد، آنگاه \( A^{n} \) پادمتقارن است.


ویژگی ۴. فرض کنید \(A\) یک ماتریس مربعی و پادمتقارن باشد. تابع چندجمله‌ای \( f(x) \) را به صورت زیر در نظر بگیرید:

\( f(x) = a_{n} x^{N} + ... + a_1 x+a_0 \)

در این صورت دو حالت زیر را داریم:

۱. اگر تابع \( f(x) \) شامل توان‌های فرد و همچنین ضریب ثابت صفر \( (a_0 = 0) \) باشد. در اینصورت \( f(x) \) یک ماتریس پادمتقارن خواهد بود.

۲. اگر تابع \( f(x) \) شامل توان‌های زوج باشد. در اینصورت \( f(A) \) ماتریس متقارن خواهد بود.


تمرین ۳. فرض کنید که A یک ماتریس مربعی به صورت زیر باشد. به ازای توابع چندجمله‌ای زیر، \( f(A) \) را محاسبه کنید و نشان دهید که این ماتریس متقارن یا پادمتقارن است.

۱. \(f(x) = 2x^{2} + 5x^{4}\)

۲. \(f(x) = x+3\)

۳. \(f(x) = x^{2}+1\)


تمرین ۴. فرض کنید که \(A\) یک ماتریس مربعی دلخواه باشد. نشان دهید که ماتریس‌ \(A\) را می‌توان به صورت مجموع دو ماتریس متقارن و پاد متقارن نمایش داد.

نظرات (0)

امتیاز 0 از 5 از بین 0 رای
هیچ نظری در اینجا وجود ندارد

نظر خود را اضافه کنید.

  1. ارسال نظر بعنوان یک مهمان ثبت نام یا ورود به حساب کاربری خود.
به این پست امتیاز دهید:
0 کاراکتر ها
پیوست ها (0 / 3)
مکان خود را به اشتراک بگذارید
عبارت تصویر زیر را بازنویسی کنید. واضح نیست؟

جدیدترین محصولات

فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (463)
فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پن...
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (473)
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل ...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ بازدید (565)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ بازدید (479)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ بازدید (486)
پاسخ تشریحی نمونه سوالات میانترم ریاضی م...

فایل های تصادفی

مقدمه و فهرست مطالب کتاب آمار و احتمال مقدماتی دکتر بهبودیان مقدمه و فهرست مطالب کتاب آمار و احتمال م... بازدید (18406)
مقدمه و فهرست مطالب کتاب آمار و احتمال م...
جزوه نظریه عملگرها 1 دکتر صال مصلحیان92-1391 جزوه نظریه عملگرها 1 دکتر صال مصلحیان92-... بازدید (13303)
جزوه درس نظریه عملگرها 1 دکتر صال مصلحیا...
جزوه جبر پیشرفته دکتر اکبری دانشگاه صنعتی شریف جزوه جبر پیشرفته دکتر اکبری دانشگاه صنعت... بازدید (14118)
جزوه جبر پیشرفته دکتر اکبری دانشگاه صنعت...
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی یک - اعداد مختلط آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی یک - اعدا... بازدید (10879)
این مجموعه شامل 25 سوال حل شده از بخش اع...
آنالیز مختلط و کاربردهای آن، سیلور من، عمیدی آنالیز مختلط و کاربردهای آن، سیلور من، ع... بازدید (19354)
کتاب آنالیز مختلط و کاربردهای آن نوشته ر...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (89519)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (41894)
کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبا...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (41372)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (38885)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (36049)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...

جشنواره ملی رسانه های دیجیتال

امنیت در پرداخت ها

تعداد بازدید مطالب
17292483

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا