ماتریس خودتوان

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

ماتریس خود توان: فرض کنید ‎A‌‏ یک ماتریس ‌‎ \( n \times n \) ‎ ‏باشد. ماتریس ‌‏A‎ را خود توان نامیم، هرگاه توانش با خودش برابر باشد یعنی رابطه زیر برقرار باشد:

‌‎\( A \times A = A‌‎^{2} = A \)‌‌‌‎


مثال ۱. کدام یک از ماتریسهای زیر خود توان هستند.

۱. \(A=\begin{bmatrix}-1&1&1\\-1&1&1\\-1&1&1\\ \end{bmatrix}\)

برای بررسی خودتوانی ماتریس فوق کافی است ماتریس A را یکبار در خودش ضرب نمایید. لذا داریم:

۱. \(A*A=\begin{bmatrix}-1&1&1\\-1&1&1\\-1&1&1\\ \end{bmatrix} *‌ \begin{bmatrix}-1&1&1\\-1&1&1\\-1&1&1\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1-1-1&-1+1+1&-1+1+1\\+1-1-1&-1+1+1&-1+1+1\\1-1-1&-1+1+1&-1+1+1\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1&1&1\\-1&1&1\\-1&1&1\\ \end{bmatrix}\)

همانطور که مشاهده می‌کنید، ماتریس حاصل شده با ماتریس اولیه برابر می‌باشد. لذا طبق تعریف ماتریس خود توان این ماتریس، یک ماتریس خود توان می‌باشد.

۲. \(B =\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{bmatrix}\)

برای بررسی خودتوانی  ماتریس B کافی است آن را یکبار در خودش ضرب نماییم. لذا داریم:

۲. \(B*B =\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{4}+\frac{1}{4}&\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\\ \frac{1}{4}+\frac{1}{4}& \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{bmatrix}\)


تمرین ۱. بررسی کنید ماتریس زیر خود توان است.

\( C=\begin{bmatrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{bmatrix} \)


نکته ۱. فرض کنید A‌‏ ماتریس مربعی خود توان باشد. در اینصورت به ازای هر عدد طبیعی n‌‌‎ داریم:

‎\(‌‌‎A^{n}=A‎\)‎


نکته ۲. فرض کنید که A‌‌‎ یک ماتریس خود توان باشد. ثابت کنید که I‎ -‎ A یک ماتریس خود توان است.

برا بررسی خود توانی  ماتریس I-A کافی است، این ماتریس را یکبار در خودش ضرب نمایید. لذا داریم:

\((I-A)*(I-A)=(I-A)^{2}=I^2-2AI+A^2=I-2A+A=I-A\)

همانطور که مشاهده می‌کنید I-A یک ماتریس خودتوان خواهد شد.


تمرین ۲. فرض کنید A یک ماتریس مربعی \(n \times n\) و خود توان باشد. در این صورت عبارت زیر را ثابت کنید.

\(\forall n‎\in \mathbb{N‌‎}, (I+A)^{n}=‎I‎+‎(2^{n} ‎-1)A‎\)‌‎

نظرات (1)

امتیاز 0 از 5 از بین 0 رای
این نظر توسط مجری سایت به حداقل رسیده است

سلام خسته نباشین
میشه جواب تمرین۲ رو توضیح بدین
خیلی ممنون

پریا یاوری
هیچ نظری در اینجا وجود ندارد

نظر خود را اضافه کنید.

  1. ارسال نظر بعنوان یک مهمان ثبت نام یا ورود به حساب کاربری خود.
به این پست امتیاز دهید:
0 کاراکتر ها
پیوست ها (0 / 3)
مکان خود را به اشتراک بگذارید
عبارت تصویر زیر را بازنویسی کنید. واضح نیست؟

جدیدترین محصولات

فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (463)
فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پن...
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (473)
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل ...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ بازدید (566)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ بازدید (480)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ بازدید (487)
پاسخ تشریحی نمونه سوالات میانترم ریاضی م...

فایل های تصادفی

پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی صنعتی شریف 13950827 پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی صنعتی ش... بازدید (16268)
پاسخ تشریحی آزمون میانترم ریاضی مهندسی د...
پاسخنامه آزمون میانترم معادلات دیفرانسیل دانشگاه شاهرود 13950206 پاسخنامه آزمون میانترم معادلات دیفرانسیل... بازدید (17677)
پاسخ آزمون میانترم معادلات دیفرانسیل دان...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی صنعتی شریف گروه های 5 تا 12 مورخ 13960124 پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی صنعتی ش... بازدید (13137)
پاسخ تشریحی آزمون میانترم ریاضی مهندسی د...
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ها و سری های عددی آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ه... بازدید (10272)
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- دنباله ه...
مقدمه و فهرست مطالب ریاضیات عمومی مارون جلد اول مقدمه و فهرست مطالب ریاضیات عمومی مارون ... بازدید (20239)
مقدمه و فهرست مطالب کتاب ریاضیات عمومی م...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (89521)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (41896)
کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبا...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (41373)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (38885)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (36049)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...

جشنواره ملی رسانه های دیجیتال

امنیت در پرداخت ها

تعداد بازدید مطالب
17294530

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا