ضرب داخلی
- مقطع تحصیلی: عمومی
رای دهی: 5 / 5
ضرب داخلی: فرض کنید که \(V\) یک فضای برداری بر روی میدان \(F\) باشد. یک ضرب داخلی روی فضای برداری \(V\) تابعی به شکل زیر می‌باشد:
\(<. , .> : V \times V \rightarrow F\)
که در آن هر زوج مرتب \((u,v)\) در \( V \times V\) را به اسکالری در میدان \(F\) می‌نگارد و همچنین در ویژگی‌های زیر صدق می‌کند:
۱. به ازای هر \( v \in V\) بگیریم، داریم:
\( <v,v> \geq 0 \)
۲. اگر \(v \in V\) باشد، در اینصورت \(<v,v>=0\) اگر و تنها اگر \(v=0\) باشد.
۳. برای هر \(u,v,w \in V\) می‌گیریم، داریم:
\( <u+v,w> = <u,w> + <v,w>\)
۴. برای هر \(u,v \in V\) و هر \(\alpha \in F\) می‌گیریم، داریم:
\(< \alpha u , v> = \alpha <u,v>\)
۵. برای هر \(u,v \in V\) می‌گیریم، داریم:
\(<u , v> = \overline{<u , v>}\)
مثال ۱. فرض کنید \(V = \mathbb{R}^n\) باشد. ثابت کنید تابع زیر یک ضرب داخلی بر روی فضای برداری \( \mathbb{R}\) باشد:
\(<. , .> : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}\)
\(<(w_1 , ... , w_n) , (v_1 , ... , v_n)> = w_1 \overline{v_1} +... + w_n \overline{v_n}\)
برای بررسی ضرب داخلی بودن تابع بالا، کافی است ۴ شرط ضرب داخلی را برای آن بررسی کنیم. لذا داریم:
۱. برای هر \( v \in V\) می‌گیریم، داریم:
\(<(w_1 , ... , w_n) , (w_1 , w_2 , ... , w_n)> = \sum_{i = 1}^n w_i \overline{w_i} = \sum_{i=1}^n w_i^2 \)
که مجموع اعداد مثبت، عددی مثبت است.
۲. برای هر \( u,v,w \in V\) می‌گیریم، داریم:
\(<(u+v , w)> = <(u_1 + v_1 , ... , u_n + v_n) , (w_1 , ... , w_n)> = (u_1 +v_1) \overline{w_1} + ... + (u_n + v_n) \overline{w_n} = (u_1 \overline{w_1} + ... + u_n \overline{w_n}) + (v_1 \overline{w_1} + ... + v_n \overline{w_n}) = <u , w> + <v , w> \)
۳. برای هر \(u,v \in V\) و \( \lambda \in F\) می‌گیریم، داریم:
\(<\lambda v , w> = \lambda u_1 \overline{w_1} + ... + \lambda u_n \overline{w_n} = \lambda (u_1 \overline{w_1} + ... + u_n \overline{w_n}) = \lambda <v , w>\)
۴ .برای هر \(u,v \in V \) می‌گیریم، داریم:
\(<u , v> = u_1 \overline{v_1} + ... + u_n \overline{v_n} = \overline{\overline{u_1} v_1} + ... + \overline{\overline{u_n} v_n} = \overline{\overline{u_1} v_1 + ... \overline{u_n} v_n} = \overline{<u , v>}\)
تمرین ۱. فرض کنید که \(c_1 , ... c_n\) اعداد مثبت باشند. ثابت کنید که تابع زیر یک ضرب داخلی بر روی فضای برداری \(F^n\) می‌باشد.
\(<. , .> = F^n \times F^n \longrightarrow F\)
\(<(w_1 , ... , w_n) , (z_1 , ... , z_n)> = C_1w_1 \overline{z_1} + ... + c_n w_n \overline{z_n}\)
تمرین ۲. فرض کنید که \(V\) فضای برداری تمام توابع پیوسته حقیقی مقدار بر روی بازه \([1 , 1-]\) باشد. ثابت کنید تابع زیر یک ضرب داخلی بر روی فضای برداری \(V\) می‌باشد.
\(<. , .>: V \times V \longrightarrow \mathbb{R}\)
\(<f,g> = \int_{-1}^{1} f(x)g(x) dx\)
