فضای ضرب داخلی

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

تعریف فضای ضرب داخلی: فرض کنید که \(V\) یک فضای برداری بر روی میدان \(F\) باشد. تابع زیر را بر روی این فضای برداری تعریف می‌کنیم:

\(<. , .> : V \times V \rightarrow F\)

که در شرایط زیر صدق می‌کند:

۱. به ازای هر \( v \in V\) می‌گیریم:

 \(<v , v> \geq 0\)

۲. اگر \( v,u\in V\) باشد و هرگاه اسکالر \(a \in F\) می‌گیریم، داریم:

\(<au , v> = a<u , v>\)

۳. برای هر \(u,v,w \in V\) می‌گیریم، داریم:

\( <u+v , w> = <u , w> + <v , w>\)

۴. برای هر \(u \in V\) می‌گیریم داریم، اگر \(<u,u> = 0\) است و اگر تنها اگر \( u=0\) باشد.

در اینصورت این فضای برداری همراه با شریط بالا یک فضای ضرب داخلی است. 


مثال ۱. فرض کنید \(V\)  فضای برداری تمام توابع پیوسته حقیقی بر روی بازه \([-1,1]\) باشد. ثابت کنید که این فضای برداری همراه با تابع زیر یک فضای ضرب داخلی است.

\(<. , .> = v \times v \Longrightarrow \mathbb{R}\)

\(<f , g> =\int_{-1}^{1} f(x)g(x)dx \)

برای اثبات این موضوع که این فضا یک فضای ضرب داخلی است، باید ثابت کنیم که تابع مورد نظر یک ضرب داخلی است. لذا داریم:

۱. برای هر \( f(x) \in V \) می‌گیریم، داریم:

\(<f(x) , f(x)> = \int_{-1}^{1} f(x)f(x)dx = \int_{-1}^{1} f(x)^2 dx \)

که این مقدار انتگرال همواره بزرگتر مساوی صفر خواهد بود.

۲ .برای هر \(f(x),g(x),h(x) \in V\) می‌گیریم، داریم:

\(<f(x) + g(x) , h(x)>=\int_{-1}^{1} (f(x)+g(x))h(x)dx = \int_{-1}^{1} (f(x)h(x) + g(x) h(x)) dx = \int_{-1}^{1} f(x) h(x) dx + \int_{-1}^{1} g(x)h(x),d(x) = <f(x) , h(x)> + <g(x) , h(x)> \)

۳ .برای هر \(f(x),g(x) \in V\) و \(\lambda \in \mathbb{R}\) بگیریم، داریم:

\(<\lambda f(x),g(x)> = \int_{-1}^{1} \lambda f(x) g(x) dx = \lambda \int_{-1}^{1} f(x) g(x) dx = \lambda <f(x) , g(x)>\)

۴ .برای هر \(f(x),g(x)(n) \in V\) می‌گیریم، داریم:

\(<f(x),g(x)> = \int_{-1}^{1} f(x) g(x) dx = <g(x) , f(x)>\)

چون این توابع حقیقی مقدار هستند، همواره رابطه بالا برقرار خواهد بود.


ویژگی فضای ضرب داخلی: ویژگی‌های اساسی که بر روی فضای ضرب داخلی برقرارند عبارتند از:

فرض کنید که \(u \in V\) باشد و \(\lambda \in F\) یک اسکالر باشد. لذا داریم:

۱. برای هر \( u \in V\) داریم:

\(<0 , u> = 0\)

۲. برای هر \( u \in V\) می‌گیریم، داریم:

 \( <u , 0> =0\)

۳. برای هر \( u,v,w \in V\) می‌گیریم، داریم:

 \( <u , v+w> = <u , v> + <u , w>\)

۴. برای هر \( u,v \in V\) و \( \lambda \in F\) می‌گیریم، داریم:

 \(<u , \lambda w> = \overline{\lambda}<u , w> \)


تمرین ۱. ویژگی‌های ۱ تا ۴ را بر روی فضای ضرب داخلی ثابت کنید.

نظرات (0)

امتیاز 0 از 5 از بین 0 رای
هیچ نظری در اینجا وجود ندارد

نظر خود را اضافه کنید.

  1. ارسال نظر بعنوان یک مهمان ثبت نام یا ورود به حساب کاربری خود.
به این پست امتیاز دهید:
0 کاراکتر ها
پیوست ها (0 / 3)
مکان خود را به اشتراک بگذارید
عبارت تصویر زیر را بازنویسی کنید. واضح نیست؟

جدیدترین محصولات

فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (463)
فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پن...
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (473)
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل ...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ بازدید (566)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ بازدید (480)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ بازدید (487)
پاسخ تشریحی نمونه سوالات میانترم ریاضی م...

فایل های تصادفی

Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2023 9709-2 With Solution Cambridge International AS and A Level M... بازدید (1535)
Cambridge International AS and A Level M...
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی یک - اعداد مختلط آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی یک - اعدا... بازدید (10879)
این مجموعه شامل 25 سوال حل شده از بخش اع...
Adomian decomposition method for solving the diffusion–convection–reaction equations Adomian decomposition method for solving... بازدید (19759)
S.A. El-Wakil, M.A. Abdou,A.Elhanbal...
پاسخنامه پایانترم معادلات دیفرانسیل امیر کبیر (پلی تکنیک) شماره 2 پاسخنامه پایانترم معادلات دیفرانسیل امیر... بازدید (17628)
پاسخ تشریخی امتحان پایانترم معادلات دیفر...
پاسخ تشریحی پایان ترم معادلات دیفرانسیل صنعتی امیرکبیر 13860412 پاسخ تشریحی پایان ترم معادلات دیفرانسیل ... بازدید (17444)
جواب تشریحی کامل پایان ترم معادلات دیفرا...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (89521)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (41896)
کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبا...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (41373)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (38885)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (36049)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...

جشنواره ملی رسانه های دیجیتال

امنیت در پرداخت ها

تعداد بازدید مطالب
17294540

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا