معادلات دیفرانسیل جداپذیر

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

به نام خدا

الـهم صل علی مـحمد و آل محـمد


ساده ترين شکل معادلات ديفرانسيل، معادلات جداپذير هستند. براي حل اين معادلات کافي است آن ها را به شکل استاندارد در آورده ، انتگرال بگيريم تا تابع مجهول به دست آيد.

معادله جداپذیر

شکل کلي يک معادله ديفرانسيل جداپذير اين گونه است:

يا

که در آن ها تابعي از x و تابعي از y است.

شکل استاندارد معادله ديفرانسيل جداپذیر نيز اين گونه است:

که در اين حالت ِ معادله، متغير هاي x و y ، از يکديگر جدا شده اند. يعني عبارات ِ شامل x در يک سمت علامت تساوي و عبارات شامل y در سمت ديگر آن آمده اند. به همين دليل است که اين معادلات را معادلات جداپذير مي گويند.

 

روش حل معادلات جداپذیر

حل اين معادلات بسيار ساده است. کافي است از عبارات شامل x ، نسبت به x و از عبارات شامل y ، نسبت به y انتگرال بگيريم.

پس جواب عمومي معادله جداپذير استاندارد اين گونه است :

 

مثال 1.2: معادله ي را حل کنيد.

حل : ابتدا بررسي مي کنيم آيا اين معادله جداپذير است يا خير؟ اگر بتوانيم آن را به صورت استاندارد جداپذير در آوريم، معادله جداپذير است.

پس معادله جداپذير است و جواب عمومي آن به صورت زير است:

چون c عدد ثابت است پس نيز ثابت است و مي توان آن را در نظر گرفت. پس جواب عمومي معادله ي مورد نظر است.

 

اثبات جواب عمومی :

براي اينکه ثابت کنيم عبارت ، جواب عمومي عبارت است، اينگونه عمل مي کنيم:

با اختيار تابع ، معادله ي به صورت زير در مي آيد:

اکنون اگر جواب معادله ديفرانسيل باشد داريم:

فرض کنيم q يک تابع اوليه براي h باشد يعني . در اين صورت داريم:

سمت چپ تساوي بالا، مشتق ِ تابع مرکب است . پس داريم:

اما . پس

و

که اين همان معادله ي است. heart

مثال 2.2: تحقيق کنيد آيا معادله ي ، جداپذير است يا خير سپس در صورتي که معادله جداپذير است، جواب عمومي آن را بيابيد :

حل :

بنابراين معادله جداپذير است. اکنون کافي است از طرفين انتگرال بگيريم:

که با استفاده از تکنيک هاي انتگرال گيري، جواب انتگرال هاي بالا به صورت زير خواهد بود :

که اين جواب عمومي معادله ي داده شده است.

مثال 3.2: معادله ديفرانسيل جداپذير را حل کنيد.

حل: شکل استاندارد اين معادله به صورت است. بنابراين جواب عمومي آن به صورت است. اما قابل محاسبه نيست و جواب عمومي به همين شکل باقي مي ماند.

نظرات (0)

امتیاز 0 از 5 از بین 0 رای
هیچ نظری در اینجا وجود ندارد

نظر خود را اضافه کنید.

  1. ارسال نظر بعنوان یک مهمان ثبت نام یا ورود به حساب کاربری خود.
به این پست امتیاز دهید:
0 کاراکتر ها
پیوست ها (0 / 3)
مکان خود را به اشتراک بگذارید
عبارت تصویر زیر را بازنویسی کنید. واضح نیست؟

جدیدترین محصولات

فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (463)
فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پن...
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (473)
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل ...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ بازدید (565)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ بازدید (479)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ بازدید (486)
پاسخ تشریحی نمونه سوالات میانترم ریاضی م...

فایل های تصادفی

جزوه گسسته استاد برزور فصل دوم: گراف و مدلسازی جزوه گسسته استاد برزور فصل دوم: گراف و م... بازدید (3259)
جزوه گسسته استاد برزور فصل دوم: گراف و م...
Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2022 9709-3 With Solution Cambridge International AS and A Level M... بازدید (1276)
Cambridge International AS and A Level ...
پاسخ تشریحی پایان ترم معادلات دیفرانسیل صنعتی امیرکبیر دی ماه 1382 پاسخ تشریحی پایان ترم معادلات دیفرانسیل ... بازدید (16384)
جواب تشریحی کامل پایان ترم معادلات دیفرا...
نرم افزار آرشیم نرم افزار آرشیم... بازدید (17804)
این نرم افزار یک نرم افزار رسم نمودار می...
جزوه تایپ شده تحقیق در عملیات ۲ دانشگاه پیام نور - دکتر درویشی جزوه تایپ شده تحقیق در عملیات ۲ دانشگاه ... بازدید (2687)
جزوه تایپ شده تحقیق در عملیات ۲ دکتر ...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (89519)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (41894)
کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبا...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (41372)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (38885)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (36049)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...

جشنواره ملی رسانه های دیجیتال

امنیت در پرداخت ها

تعداد بازدید مطالب
17292683

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا