ترکیب خطی

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

ترکیب خطی: فرض کنید که \(V\) یک فضای برداری بر روی میدان \(F\) باشد. اگر \(\alpha_1 , \dots \alpha_n\) اسکالرهایی از  میدان F و  \(v_1 , \dots , v_n\) بردارهایی از فضای برداری  V باشد. در اینصورت ترکیب خطی از \(v_i\)ها به صورت زیر بیان می‌شود:

\(\alpha_1v_1 + ... + \alpha_n v_n =0\)

به عبارت دیگر حاصلجمع جبری مضرب‌هایی از چند بردار را ترکیب خطی از آن بردارها گویند. ترکیب خطی فقط مختص بردارها نیست، اگر به جای بردار، تابع قرار داده شود، ترکیب خطی توابع را خواهیم داشت و ... .

رد یک فضای برداری، می توانیم هر بردار را به صورت ترکیب خطی بردارهای دیگر بنویسیم. چگونگی این کار را در مثال های زیر خواهیم آموخت.


مثال ۱. بردار \( v_1 = (1,5)\) را به صورت ترکیب خطی از بردارهای \( (2,3)\) و \((0,1)\) بنویسید.

برای اینکه بتوانیم یک بردار را به صورت ترکیب خطی از دو بردار دیگر بنویسیم، کافی است اسکالرهای \( \alpha_1 \) و \( \alpha_2\) را از میدان \(F\) به گونه‌ای بیابیم که داشته باشیم:

\( (1,5) = \alpha_1 (0,1) + \alpha_2 (2,3) \)

از اینجا داریم:

\( (1,5) = (0,\alpha_1) + (2 \alpha_2 , 3 \alpha_2)\)

حال دستگاه زیر به دست خواهد آمد:

\(\begin{cases}2 \alpha_2 = 1 \Longrightarrow \alpha_2 = \frac{1}{2}\\3\alpha_2 + \alpha_1=5 \Longrightarrow \alpha_1 = 5 - \frac{3}{2} = \frac{7}{2} \end{cases}\)

حال برای اینکه بخواهیم بردار \(v_1\) را به صورت ترکیب خطی سایر بردارها بنویسیم، کافی است \(\alpha_1 = \frac{7}{2} \) و \( \alpha_2 = \frac {1}{2}\) در نظر بگیریم.


مثال ۲. بردار \(v_1 = (1,5,8)\) را به صورت ترکیب خطی \((1,2,3)\)، \((0,1,0)\) و \((0,0,1)\) بنویسید.

برای نوشتن این بردار به صورت ترکیب خطی سه بردار فوق کافی است \(\alpha_2 \) ،\( \alpha_1 \) و \( \alpha_3\) را طوری بیابیم که عبارت زیر برقرار باشد:

\((1,5,8) = \alpha_1(1,2,3) + \alpha_2(0,1,0) + \alpha_3(0,0,1)\)

لذا از عبارت فوق دستگاه زیر بدست خواهد آمد:

\(\begin{cases} \alpha_3 + 3\alpha_1 = 8 \Longrightarrow \alpha_3 = 8-3 = 5 \\ \alpha_2 + 2\alpha_1 = 5 \Longrightarrow \alpha_2 = 5-2 =3 \\ \alpha_1 = 1\end{cases}\)

پس کافی است که \(\alpha_1 = 1 \)، \( \alpha_2 = 3 \)  و \( \alpha_3 = 5\) در نظر بگیریم.


مثال ۳. تابع \(y = 5x+1\) به صورت ترکیب خطی از توابع \( y_1 = 3x+7 , y_2 = 12x+5 \) بنویسید.

برای نوشتن تابع \(y = 5x+1\) به صورت ترکیب خطی توابع گفته شده کافی است، ضرایبی چون \( \alpha_1 , \alpha_2\) را به گونه‌ای بیابیم که عبارت زیر برقرار باشد:

\(5x+1 = \alpha_1(3x+7) + \alpha_2(12x+5)\)

از اینجا داریم:

\( 5x+1 = (3 \alpha_1 + 12 \alpha_2)x + 7 \alpha_1 + 5\alpha_2\)

در نتیجه دستگاه زیر را داریم:

\(\begin{cases}3\alpha_1 + 12 \alpha_2 = 5\\7 \alpha_1 + 5\alpha_2 = 1\end{cases}\)

با حل این دستگاه داریم:

\(\begin{cases}(-7)3\alpha_1 + (-7)12 \alpha_2 = 5\\(3)7 \alpha_1 + (3)5\alpha_2 = 1\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}-21 \alpha_1 - 84 \alpha_2 = -35 \\ 21 \alpha_1 + 15\alpha_2 = 3 \end{cases}\) ⇒ \(-69 \alpha_2 = -32 \Rightarrow \alpha_2= \frac{32}{69}\) ⇒ \(7\alpha_1 = 1-5 \times \frac{32}{69}\)


تمرین . بردارها و توابع زیر را به صورت ترکیب خطی بردارهای مشخص شده بیان کنید.

  • تابع \(f(x) = 2x^2+1\) را به صورت ترکیب خطی \(f_1 = x^2 + 2x+5 \) ،  \( f_3 = 2x+5 \) و \( f_2 = x^2+1\) بنویسید.
  • بردار \((5,3,0)\) را به صورت ترکیب خطی بردارهای \(v_3 = (1,0,0)\) ، \(v_2 = (5,8,9) \) و \( v_1 = (10,5,7)\) بنویسید.

نظرات (0)

امتیاز 0 از 5 از بین 0 رای
هیچ نظری در اینجا وجود ندارد

نظر خود را اضافه کنید.

  1. ارسال نظر بعنوان یک مهمان ثبت نام یا ورود به حساب کاربری خود.
به این پست امتیاز دهید:
0 کاراکتر ها
پیوست ها (0 / 3)
مکان خود را به اشتراک بگذارید
عبارت تصویر زیر را بازنویسی کنید. واضح نیست؟

جدیدترین محصولات

فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (463)
فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پن...
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (473)
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل ...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ بازدید (566)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ بازدید (480)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ بازدید (487)
پاسخ تشریحی نمونه سوالات میانترم ریاضی م...

فایل های تصادفی

جزوه ریاضی مهندسی پیشرفته دکتر طلعتی تبریز جزوه ریاضی مهندسی پیشرفته دکتر طلعتی تبر... بازدید (19422)
جزوه ریاضی مهندسی پیشرفته دکتر طلعتی دان...
مقدمه و فهرست مطالب ریاضی عمومی 1 پیام نور رشته ریاضی مقدمه و فهرست مطالب ریاضی عمومی 1 پیام ن... بازدید (18128)
مقدمه و فهرست مطالب کتاب ریاضی عمومی 1 پ...
Cambridge International AS and A Level Mathematics February March 2021 9709 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level M... بازدید (1350)
Cambridge International AS and A Level M...
Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2021 9709-2 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level M... بازدید (2540)
Cambridge International AS and A Level M...
مقدمه و فهرست مطالب آنالیز عددی 1 کرایه چیان مقدمه و فهرست مطالب آنالیز عددی 1 کرایه ... بازدید (20476)
مقدمه و فهرست مطالب کتاب آنالیز عددی 1 د...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (89521)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (41896)
کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبا...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (41373)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (38885)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (36049)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...

مطالب تصادفی

جشنواره ملی رسانه های دیجیتال

امنیت در پرداخت ها

تعداد بازدید مطالب
17294652

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا