پایان ترم آنالیز حقیقی دانشگاه صنعتی شریف دکتر فتوحی ۱۳۹۲۱۰۱۸
نام آزمون: پایانترم آنایز حقیقی
دانشگاه: صنعتی شریف
دانشکده علوم ریاضی
نیمسال اول 93-1392
تاریخ برگزاری: 18 بهمن 1392 (13921018)
وقت ۳ ساعت
دانلود فایل PDF پایانترم آنالیز حقیقی دانشگاه صنعتی شریف دکتر فتوحی مورخ 13921018 (همین آزمون)
سؤال ۱. دنباله را در
در نظر بگیرید که و قرار دهید
. ثابت کنید
تقریباً همه جا وجود دارد و برابر صفر است.
سؤال ۲. عملگر خطی کراندار را روی یک فضای هیلبرت در نظر بگیرید. عملگر الحاقی
را تعریف کزده و وجود آن را اثبات نمایید. هم چنین نشان دهید
.
سؤال ۳. فرض کنید اندازه های مثبت v و روی
،
-متناهی باشند. تعریف پیوستگی مطلق v نسبت به
را بیان کرده و ثابت کنید که در این شرایط تابع
-انتگرالپذیر f وجود دارد که
. ( استفاده از قضیه رادون-نیکودسم جایز نیست.)
سؤال ۴.دنباله در
تقریباً همه جا به تابع f همگرا است. ثابت کنید
اگر و تنها اگر
.
سؤال ۵. اگر یک دنباله متعامد یکه در فضای هیلبرت
باشد و
یک دنباله از اعداد حقیقی که
، نشان دهید مجموعه
در
فشرده است.
سؤال 6. اگر v یک اندازه علامتدار -متناهی روی X باشد. نشان دهید مجموعه های اندازه پذیر A و B وجود دارند که
،
و برای هر مجموعه اندازه پذیر E
،
.
(یادآوری: و
که
اندازه تغییرات کلی v است.)
موفق باشید