29.1. اعداد گنگ و اعداد گویا

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

به نام خدا

الهم صل علی محمد و آل محمد


اينکه مي گوييم عددي گنگ است يعني چه ؟ آيا به اين معني است که قادر به صحبت نيست ؟ !!! مسلما ً اين گونه نيست. در رياضيات به اعدادي که گويا نباشند، اعداد گنگ ( اصم ) مي گويند.

اعداد گويا چه نوع اعدادي هستند؟ آيا اين اعداد نيز اعداد « سخن گو » هستند؟ خير ؛ به عددي که بتوان آن را با يک کسر معمولي بيان کنيم ، يک « عدد گويا » مي گوييم.

عددي گنگ است زيرا هيچ کسري به صورت وجود ندارد که برابر با باشد. اگر را محاسبه کنيم خواهيم داشت :

( در پايان اين قسمت اثبات خواهيم کرد که عددي گنگ است. )

دقت کنيد که در ارقام ِ هيچ الگويي وجود ندارد و هيچ گروهي از ارقامش تکرار نمي شوند.

بنابراين اين سوال پيش مي آيد که آيا همه ي اعداد گويا ، در نمايش اعشاري ، يک گروه از ارقامشان دوره اي هستند و تکرار مي شوند؟

براي مشخص شدن مطلب ، اجازه دهيد چند کسر را ارزيابي کنيم :

که اين عدد را مي توان به صورت نوشت. که داراي يک گروه شش رقمي تکراري است يا به عبارتي دوره ي گردش ِ ، شش رقمي است و آن ارقامي که بالاي آن ها خط کشيده ايم از ابتداي خط تا انتهاي آن به ترتيب تکرار مي شوند.

اما مقدار کسر ِ را ببينيد :

چنانچه ملاحظه نموديد ما اين کسر را تا بيش از 100 رقم اعشار محاسبه نموديم اما هيچ دوره ي گردشي مشاهده نمي کنيم. آيا مي توانيم نتيجه بگيريم که عددي گنگ است ؟ اگر چنين باشد که تعريف قبلي ما براي اعداد گنگ باطل مي شود !!!...

آيا اگر مقدار را کمي بيشتر محاسبه کنيم، اتفاق خاصي نخواهد افتاد؟ ببينيم اگر 10 رقم اعشار جلوتر رويم چه مي شود :

به نظر مي رسد يک الگوي تکراري شروع شود و آغاز آن 0091 باشد. محاسبات را بيشتر مي کنيم( بيش از 200 رقم ) ، آيا حدس ما درست خواهد بود ؟ ببينيد :

اگر محاسبات را تا 332 رقم اعشار ادامه دهيم ، الگو واضح خواهد شد :

پس مي توانيم اين محاسبات را متوقف کنيم و نتيجه بگيريم ( البته بدون اثبات) که « نمايش يک کسر معمولي به صورت عدد اعشاري ، همواره يک دوره ارقام چرخشي دارد. » البته بعضي از اين کسر ها در اين نمايش، دوره ي چرخش کوتاهي دارند : مثلا ً دوره ي چرخش يک رقمييا يک دوره ي چرخشي 6 رقمي دارد و بعضي ها مانند که دوره ي 108 رقمي دارد، دوره ي طولاني تري دارند.

اين ، گواهي بر آن است که يک کسر داراي نمايش ِ اعشاري متناوب است ولي اعداد گنگ چنين نيستند.

اکنون ثابت مي کنيم که را نمي توان به صورت يک کسر نوشت که آن نتيجه خواهد داد عددي گنگ است.

... « فرض کنيم کسري با کوچکترين جملات است که در آن a و b هيچ مقسوم عليه مشترکي ندارند. فرض کنيم . دو طرف تساوي را به توان 2 مي رسانيم : بنابراين . يعني عددي زوج است . چونتوان دوم هر عدد فرد، عددي فرد است پس چون زوج است ، a نمي تواند عددي فرد باشد ؛ پس a زوج است و مي توان فرض کرد a = 2k . بنابراين که نشان مي دهد . پس زوج است و b نيز زوج خواهد شد. پس در کل از اينکه باشد ، به اين نتيجه رسيديم که a و b بايستي اعداد زوجي باشند که در اين صورت a و b داراي حداقل يک مقسوم عليه مشترک ( يعني 2 ) هستند که اين نتيجه با فرض اوليه ي ما ( a و b هيچ مقسوم عليه مشترکي ندارند ) در تناقض است. بنابراين فرض اينکه را بتوان به صورت يک کسر نوشت باطل است يعني عددي گنگ است . » ... .

شايد اين اثبات براي شما اصرار آميز و گيج کننده باشد اما با کمي دقت و پيگيري ِ گام به گام ِ آن ، به زيبايي اين اثبات پي خواهيد برد.

نظرات (5)

امتیاز 5 از 5 از بین 1 رای
این نظر توسط مجری سایت به حداقل رسیده است

سلام
ببخشید من پول رو واریز کردم ولی فایلی دریافت نکردم چرا؟؟؟

Fatemeh
این نظر توسط مجری سایت به حداقل رسیده است

سلام وقتتون بخیر
فایل مجددا به ایمیل شما ارسال شد. اگر مشکلی بود بفرمایید در خدمت هستیم
لطفا قسمت اسپم ایمیلتان را نیز بررسی کنید.
لینک راهنمای زیر را مطالعه کنید.
http://irmath.com/index.php/othersections/register/994-not-spam

ایزدی مهر
  1. 5 / 5
این نظر توسط مجری سایت به حداقل رسیده است

بنده هزینه رو واریز کردم اما فایل برای من ارسال نشد.

فاطمه
این نظر توسط مجری سایت به حداقل رسیده است

سلام
لطفا ایمیلی که با اون خریدتون رو ثبت کردین رو برای ما ارسال کنید
برای دریافت پاسخ سریعتر میتونید با شماره سایت در ارتباط باشید.

ایزدی مهر
  1. 5 / 5
این نظر توسط مجری سایت به حداقل رسیده است

خیلی عالی بود ممنون

Aida maryam davoodi داودی
هیچ نظری در اینجا وجود ندارد

نظر خود را اضافه کنید.

  1. ارسال نظر بعنوان یک مهمان ثبت نام یا ورود به حساب کاربری خود.
به این پست امتیاز دهید:
0 کاراکتر ها
پیوست ها (0 / 3)
مکان خود را به اشتراک بگذارید
عبارت تصویر زیر را بازنویسی کنید. واضح نیست؟

جدیدترین محصولات

فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (463)
فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پن...
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (473)
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل ...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ بازدید (565)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ بازدید (479)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ بازدید (486)
پاسخ تشریحی نمونه سوالات میانترم ریاضی م...

فایل های تصادفی

آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی - حد و پیوستگی توابع چند متغیره آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی - حد و پی... بازدید (7411)
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی فصل حد و ...
جزوه تحقیق در عملیات 1 دکتر عشقی دانشگاه صنعتی شریف جزوه تحقیق در عملیات 1 دکتر عشقی دانشگاه... بازدید (18802)
جزوه دست نویس تحقیق در عملیات 1 دکتر عشق...
حل المسائل معادلات دیفرانسیل کرایه چیان حل المسائل معادلات دیفرانسیل کرایه چیان... بازدید (34239)
حل المسائل معادلات دیفرانسیل کرایه چیان...
حل تمرین حسابان ۲ حل تمرین حسابان ۲... بازدید (10898)
حل تمرین ها، کار در کلاس ها و فعالیت های...
کتاب حد و پیوستگی استاد برزور کتاب حد و پیوستگی استاد برزور... بازدید (1647)
کتاب حد و پیوستگی استاد محمد برزور...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (89520)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (41896)
کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبا...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (41372)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (38885)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (36049)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...

جشنواره ملی رسانه های دیجیتال

امنیت در پرداخت ها

تعداد بازدید مطالب
17294096

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا