نگاشت خطی (تبدیل خطی)

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 4 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهغیر فعال سازی ستاره
 

تعریف نگاشت خطی: فرض کنید که \(W\)  و \(V\) دو فضای برداری بر روی میدان یکسان \(F\) باشند. تابع \(f:V \Rightarrow W\) را یک نگاشت خطی یا تبدیل خطی گویند، هرگاه به ازای هر \(u,v \in V\) و برای هر اسکالر \(c \in F\) که می‌گیریم، داشته باشیم:

۱. \(f(u+v) = f(u) + f(v)\)

۲. \(f(cu) = cf(u)\)

یا به ازای هر \(u,v \in V\) و برای هر اسکالر \(c \in F\) که می‌گیریم، می‌توان به طور خلاصه بیان نمود:

\(f(cu+v) = cf(u)+f(v)\)

نکته‌ای که باید در این تعریف مورد توجه قرار بگیرد، این است که یک تبدیل خطی بر روی فضاهای برداری با میدان یکسان قابل تعریف است. پس داریم، هرگاه \(f\) یک تبدیل خطی از فضای برداری \(V\) بر روی میدان \(F\) به فضای برداری \(W\) بر روی میدان \(K\) باشد، حتما \(K\) باید زیرمیدانی از \(F\) باشد تا \(f\) بتواند یک تبدیل خطی را تشکیل بدهد.


مثال ۱. فرض کنید که تابع \(T:\mathbb{R}^2\Rightarrow \mathbb{R}^3\) با ضابطه‌ای به صورت  \(T(x,y) = (x, x+y, 2x)\) باشد. آیا این  تابع یک تبدیل خطی است.

برای اثبات این موضوع که  تابع \(T\) یک تبدیل خطی است، به گونه زیر عمل می‌کنیم:

به ازای هر \(b=(x_2,y_2) \in \mathbb{R}^2\) و \( a=(x_1,y_1) \in \mathbb{R}^2\) و اسکالر \(c \in \mathbb{R}\) می‌گیریم، داریم:

\(T(ca+b) = T(c(x_1, y_1)+(x_2, y_2)) \\ =T(cx_1+x_2 , cy_1+y_2) = (cx_1+x_2, cx_1+x_2 +cy_1+y_2, 2cx_1+x_2) \\ = (cx_1, cx_1+cy_1, 2cx_1)+(x_2, x_2+y_2, 2x_2) = cT(x_1,y_1)+T(x_2,y_2)\)

پس با توجه به عبارت بالا می‌توان گفت که تابع \(T(x,y)\) یک تبدیل خطی را تشکیل می‌دهد.


مثال ۲. فرض کنید که \(V\) یک فضای برداری بر روی میدان \(F\) باشد. در این صورت تابع به شکل زیر، آیا یک تبدیل خطی است یا خیر؟

 \(T:V \times V \rightarrow F\)

\(Tv = 1\)

برای اینکه نشان دهیم تابع بالا یک تبدیل خطی است، کافیست ثابت کنیم:

\(\forall x, y \in V,\:\: \forall a \in F,\:\;  T(ax+y)= aT(x)+T(y)\)

همانطور که از ضابطه بالا بر می‌آید داریم:

 \(T(ax+y) =1\) 

در حالیکه داریم:

\(aT(x) + T(y) = a \times 1+1 = a+1\)

که با توجه به اینکه \(T(ax+y) \neq aT(x)+T(y)\) شده است. لذا \(T\) یک تبدیل خطی نمی‌باشد.


تمرین ۱. فرض کنید که \(V\)  فضای برداری تمام توابع چندجمله‌ای از مرتبه \(n\) باشد. در این صورت عمل مشتق‌گیری بر روی این فضای برداری یک تبدیل خطی است.


تمرین ۲. فرض کنید که \(V\)  فضای برداری تمام توابع حقیقی مقدار و پیوسته باشد. در اینصورت تابع زیر آیا یک تبدیل خطی است؟

\(f(x) \in V, \:\: T(f(x)) = \int_{0}^{x} f(t)dt\)


تمرین ۳. آیا تابع زیر یک تبدیل خطی است؟

\(T: \mathbb{R}^2 \Rightarrow \mathbb{R}^3\)

\(T(x,y) = (x^2, 2y, x-y)\)


تمرین ۴. فرض کنید که \(T: \mathbb{R}^2 \Rightarrow \mathbb{R}^3\) یک تبدیل خطی باشد بطوریکه \(T(1,2) = (1,0,3)\) و \(T(1,5) = (0,1,2)\) باشند. در این صورت \(T(0,2)\) را محاسبه کنید.


مثال ۳. فرض کنید \(T: \mathbb{R}^2 \Rightarrow \mathbb{R}^2\) یک تبدیل خطی و \(T(3,0) = (1,2) \) و \( T(2,1) = (5,1)\) باشند. در اینصورت مقدار عبارت \(T(2,3)\) را بدست آورید.

برای بدست آوردن \(T(2,3)\) به گونه زیر عمل می‌کنیم:

۱. در ابتدا \((2,3)\) را به صورت ترکیب خطی از \((3,0)\) و \((2,1)\) می‌نویسیم. برای این موضوع مقدار \(\beta\) و \( \alpha\)ای موجود هستند به قسمی که داریم:

\((2,3) = \alpha(2,1) +\beta (3,0)\)

لذا دستگاه زیر را به دست می‌آوریم:

\(\begin{cases}2 \alpha + 3 \beta = 2\\ \alpha = 3\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}\beta = \frac{-4}{3}\\ \alpha = 3\end{cases}\)

پس داریم:

\((2,3) = 3(2,1) - \frac{-4}{3}(3,0)\)

از آنجا که \(T\) یک تبدیل خطی است، داریم:

\(T(2,3) = T(3(2,1) - \frac{4}{3}(3,0)) = 3T(2,1) - \frac{4}{3} T(3,0) = 3(5,1) - \frac{4}{3}(1,2) = (15 - \frac{4}{3} , 3- \frac{8}{3} = (\frac{41}{3} , \frac{1}{3})\)

پس داریم:

\(T(2,3) = (\frac{41}{3} , \frac{1}{3})\)

نظرات (0)

امتیاز 0 از 5 از بین 0 رای
هیچ نظری در اینجا وجود ندارد

نظر خود را اضافه کنید.

  1. ارسال نظر بعنوان یک مهمان ثبت نام یا ورود به حساب کاربری خود.
به این پست امتیاز دهید:
0 کاراکتر ها
پیوست ها (0 / 3)
مکان خود را به اشتراک بگذارید
عبارت تصویر زیر را بازنویسی کنید. واضح نیست؟

جدیدترین محصولات

فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (463)
فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پن...
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (473)
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل ...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ بازدید (566)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ بازدید (480)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ بازدید (487)
پاسخ تشریحی نمونه سوالات میانترم ریاضی م...

فایل های تصادفی

پاسخنامه تشریحی برنامه سازی پیشرفته پیام نور ترم دوم 93-92 همراه با برنامه پاسخنامه تشریحی برنامه سازی پیشرفته پیام... بازدید (18762)
پاسخنامه کاملا تشریحی برنامه سازی پیشرفت...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه... بازدید (566)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
Cambridge International AS and A Level Mathematics October November 2022 9709-2 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level M... بازدید (1218)
Cambridge International AS and A Level M...
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی - انتگرال دوگانه و سه گانه آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی - انتگرال... بازدید (7148)
مسائل حل شده در مبحث انتگرال دوگانه و سه...
A New and Efficient Large-Update Interior-Point Method for Linear Optimization A New and Efficient Large-Update Interio... بازدید (20720)
Jiming Peng , Cornelis Roos, Tam´as , Te...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (89521)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (41896)
کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبا...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (41373)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (38885)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (36049)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...

جشنواره ملی رسانه های دیجیتال

امنیت در پرداخت ها

تعداد بازدید مطالب
17294546

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا