تعریف فضای برداری، مثال و تمرین

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

تعریف فضای برداری: فرض کنید که V مجموعه‌ای از بردارهاست که بر روی میدان F در نظر گرفته‌ایم. مجموعه‌ V بر روی میدان F، همراه با دو عمل دوتایی جمع برداری و ضرب اسکالر که به صورت زیر تعریف می‌شود:

\(\forall v , w \in V ⇒ v+w \in V\)

\(\forall v \in V , c \in F ⇒ cv \in V\)

را یک فضای برداری یا فضای خطی گویند، هرگاه در شرایط زیر صدق نماید:

۱. عمل دوتایی جمع دارای خاصیت جابه‌جایی است، یعنی داریم:

\(\forall ‎a,b ‎\in V‎ ‌‎\longrightarrow ‎a+b =‎ ‎b+a\)‌‌‎

۲. عمل دوتایی جمع شرکتپذیر است، یعنی داريم: 

‎\( ‎\forall ‎a,b‎,c \in V ‎\longrightarrow ‎(a+b)+c =‎ ‎a+(b+c)‎ \)‌‌‌‌‌‎

‏۳. بردار یکتای صفری در V‌‌‎ موجود است، به طوری که به ازای هر ‌‎\( ‎a\in v ‌‌‌‎\)‌‎ ، داریم:

‎\( ‎a+0 = ‎0+a ‎=a ‌‎\)‌‎

‏۴. به ازای هر بردار ‎\(‎ a ‌‎\in V ‌‌‌‎\)‌‌‏ ، بردار یکتای ‌‎\( b‎ ‎\in V \)‌‌‌‎ موجود است. به قسمی که داریم:

‎\( ‎a+b =‎ ‎b+a =‎ 0 ‌‌‌‎\)‌‎ 

۵. به ازای هر ‎\(‎ a‎ ‎\in V ‌‌‌‎\)‌‌‏ ، داریم:

‎\(‌‌‎1a = a ‎\)‌‌‎

۶. به ازای هر ‎\( ‎c‎_{1},c_{2} ‎\in F ‌‌‌‎\)‌‌‏ و ‌‎\( a‎ ‎\in ‎V‎ ‌‎\)‎ ، داریم:

‎\( ‎(c_{1}c_{2})a =‎ ‎c_{1}(c_{2}a) ‌‎\)‎


‏مثال. فرض کنید که \(V= \{(v_1 , ... , v_n) | v_i \in \mathbb{R} , 1 \leq i \leq n \}\) ‏ مجموعه‌ تمام ‎n‌‏تایی مرتب‌ها بر روي‎ میدان اعداد حقیقی F‌‌ باشد. دو عمل دوتايي جمع برداري و ضرب اسكالري را به صورت زير تعريف مي‌كنيم: 

\( ‌‎(v_{1} ,‎ ‎... ,‎ ‎v_{n}) +‎ ‎(w_‎‎{1} ,‎ ‎... , ‎w_{n}) =‎ ‎(v‎_{1} +‎ w_‎‎{1} ,‎ ‎... ,‎ ‎v_{n}+w_{n}) ‌‎\)‌‎

‎\( ‎k(v_{1} ,‎ ‎... ‎v_{n}) = (‎kv_{1}, ‎... ,‎ ‎kv_{n}) ‌‎\)‌‎

در اینصورت مجموعه‌ V همراه ميدان F تشکیل یک فضای برداری خواهد داد.

برای اثبات این موضوع کافی است ثابت کنید که V نسبت به عمل دوتایی جمع برداری و ضرب اسکالر روی میدان F دارای خاصیت‌های ذکر شده در تعریف می‌باشد. لذا داریم:

۱. عمل دوتایی جمع دارای خاصیت جابه‌جایی است، یعنی داریم:

\((v_1 , ... , v_n) + (w_1 , ... , w_n)=(v_1+w_1 , ... , v_n+w_n)= (w_1 , ... , w_n)+ (v_1 , ... , v_n)\)

۲. عمل دوتایی جمع شرکتپذیر است، یعنی داريم: 

\((v_1 , ... , v_n) + ((w_1 , ... , w_n) + (z_1 , ... , z_n)) = (v_1 + (w_1 + z_1) , ... , v_n + (w_n + z_n)) = ((w_ 1 , ... , w_n) + (v_1 , ... , v_n)) + (z_1 , ... , z_n)\)

‏۳. بردار یکتای صفری در V‌‌‎ موجود است، به طوری که به ازای هر \((v_1 , ... , v_n)\) ‏بگیریم‏، داریم:

\((v_1 , ... , v_n) + (0 , ... , 0)= (v_1 + 0 , ... , v_n + 0)=(v_1 , ... , v_n)\)

‏۴. به ازای هر بردار \( (v_1 , ..., v_n) \in V\)‏ بگیریم، بردار یکتای \((w_1 , ..., w_n) \in V\) موجود است. به قسمی که داریم:

\(‌(v_1 , ... , v_n)+(w_1 , ... , w_n) =(0 , ... , 0)\)

کافی است که \((w_1 , ... , w_n) = (-v_1 , ... , -v_n)\) در نظر بگیریم. 

برای شرط پنجم که با در نظر گرفتن اسکالر ۱، حکم را می‌توان برقرار نمود. شرط آخر را به عنوان تمرین بررسی کنید. با برقراری تمام این شرایط فضای برداری بیان شده همراه با میدان اعداد حقیقی تشکیل یک فضای برداری را خواهد داد. 


تمرین ۱. فضای ‎\(‎ V‎ =‎ \{‎ ‎x+iy | ‌‎x,y ‎\in \mathbb{R‎} ,‎ i‎^2 \mathbb{R‎} \} ‌‌‎\)‌‌‏ را همراه با میدان F‌‌‎ که اعداد مختلط می‌باشد را در نظر بگیرید. آیا این  مجموعه‌ همراه با دو عمل دوتایی زیر تشکیل یک فضای برداری را می‌دهد؟ 

\( ‌‎(x+iy) +‎ ‎(h+ix) =‎ ‎(x+h) ‎+i(x+y) ‌‎\)‌‎

‎\( ‎a(x +‎ ‎iy) =‎ ‎ax+iay ‌‎\)‌‎


‏تمرین ۲. مجموعه‌ {تمام توابع حقیقی}=V بر روی میدان اعداد حقیقی را در نظر بگیرید. دو عمل دوتایی زیر را بر روی مجموعه‌ V همراه میدان F به گونه زیر تعریف می‌کنیم: 

‎\(‌‎ ‎(f+g)(x) =‎ ‎f(x) +‎ ‎g(x) ‌‎\)‌‎

‎\( ‎c(f(x)) =‎ ‎(cf)(x) ‌‎\) ‌‎


‏تمرین ۳. ثابت کنید فضای توابع چندجمله‌ای از مرتبه ‎n‌‏ همراه با میدان اعداد حقیقی تشکیل یک فضای برداری همراه با دو عمل دوتایی تعریف شده به صورت زیر را می‌دهد.

\(‌‎ ‎f(x) + ‎g(x) =(a_0 + a_1 x+ ...+ a_n x^n ‌‎) + (b_0 + b_1 x + ... + b_n x^n) = (a_0 + b_0 )+(a_1 + b_1)x  + ... + (a_n + b_n) x^n\)‌‎

‎\( ‎cf(x) ‌= c(a_0 + a_1 x + ... + a_n x^n) = ca_0 + ca_1 x+ ... + ca_n x^n‎\)‌‎

نظرات (0)

امتیاز 0 از 5 از بین 0 رای
هیچ نظری در اینجا وجود ندارد

نظر خود را اضافه کنید.

  1. ارسال نظر بعنوان یک مهمان ثبت نام یا ورود به حساب کاربری خود.
به این پست امتیاز دهید:
0 کاراکتر ها
پیوست ها (0 / 3)
مکان خود را به اشتراک بگذارید
عبارت تصویر زیر را بازنویسی کنید. واضح نیست؟

جدیدترین محصولات

فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (463)
فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پن...
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (473)
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل ...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ بازدید (566)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ بازدید (480)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ بازدید (487)
پاسخ تشریحی نمونه سوالات میانترم ریاضی م...

فایل های تصادفی

جزوه توپولوژی دکتر شهشهانی دانشگاه صنعتی شریف بهار ۱۳۹۵ جزوه توپولوژی دکتر شهشهانی دانشگاه صنعتی... بازدید (7357)
فایل جزوه توپولوژی دکتر شهشهانی دانشگاه ...
 ریاضی پایه پنجم- فصل دوم- درس سوم، مسأله‌های کسر فایل شماره ۱ نسخه WORD ریاضی پایه پنجم- فصل دوم- درس سوم، مسأل... بازدید (1382)
ریاضی پایه پنجم- فصل دوم- درس سوم، مسأل...
پاسخ تشریحی میانترم آنالیز ریاضی 1 دانشگاه شاهرود استاد موسوی 13910212 پاسخ تشریحی میانترم آنالیز ریاضی 1 دانشگ... بازدید (14731)
پاسخ تشریحی میانترم آنالیز ریاضی 1 دانشگ...
Cambridge International AS and A Level Mathematics May June 2020 9709-1 With Solution Cambridge International AS and A Level M... بازدید (1510)
Cambridge International AS and A Level M...
جزوه ریاضی عمومی 2 دکتر کیانی دانشگاه صنعتی امیرکبیر جزوه ریاضی عمومی 2 دکتر کیانی دانشگاه صن... بازدید (19447)
جزوه درس ریاضی عمومی 2 دانشگاه رشته ریاض...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (89521)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (41896)
کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبا...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (41373)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (38885)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (36049)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...

جشنواره ملی رسانه های دیجیتال

امنیت در پرداخت ها

تعداد بازدید مطالب
17294493

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا