ميدان

مقطع تحصیلی: کارشناسی

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

تعریف میدان: مجموعه \(A ‎\neq ‎\emptyset ‎\)‎را ‎همراه‎ با دو عمل دوتایی + و . را در نظر بگیرید. مجموعه ‌ A همراه با این دو عمل دوتایی تشکیل یک میدان را می‌دهد هرگاه در شرایط زیر صدق کند:

۱. هرگاه مجموعه ‌ A‌‌‌ نسبت به دو عمل دوتایی + و . بسته باشد، به عبارت دیگر داریم:

‎\( ‎\forall x‎ ,‎ y‎ ‎\in A‎ ,‎ ‎x.y ‎\in A‎ ,‎ ‎x+y ‎\in ‎A‎ \)‌‌‎

۲. هرگاه دو عمل دوتایی + و . بر روی مجموعه ‌ A‎ جا به جایی باشد، به عبارت دیگر داریم:

‎\( ‎\forall x‎ ,‎ y‎ ‎\in A‎ ,‎ ‎x+y =‎ ‎y+x‎ \)‌‌‎

۳. هرگاه عمل دوتایی + بر روی مجموعه ‌A ‎ شرکتپذیر باشد، به عبارت دیگر داریم:

‎\( ‎\forall ‎x,y,z ‎\in A,‎ ‎(x+y) +‎ z‎ = ‌‎x+(y+z)\)‌‏

۴. مجموعه ‌A ‎ نسبت به عمل دوتایی + دارای عضو همانی است، به عبارت دیگر داریم:

‎\( ‎\exists‎ 0_{A} ‎\in A‎ ,‎ ‎\forall a \in A , a+0_A = 0_A + a = a \)‌‌‎

۵. هرگاه هر عضو از مجموعه ‌ A‎‎ دارای‎ عضو وارون منحصر به فرد باشد، به عبارت دیگر داریم:

‎\( ‌‎\forall a‎ ‎\in A‎ , ‌‌‌‎\exists b‎ ‎\in A‎ ,‎ ‎a+b =‎ ‎b+a =‎ 0‎_A \)‌‌‎

۶. نسبت به عمل دوتایی ضرب جا به جایی باشد، به عبارت دیگر داریم:

‎\( ‌‎\forall ‎x,y ‎\in A‎ ,‎ ‎x.y =‎ ‎y.x‎ \)‌‌‎

۷. نسبت به عمل دوتایی ضرب شرکتپذیر باشد، به عبارت دیگر داریم:

‎\( ‌‎\forall ‎x,y,z ‎\in A‎ ,‎ ‎(x.y)z = ‎x(y.z)‌‌‌‌‎ \)‌‌‎

۸. عضو منحصر به فردي چون ‎\(‎1_A ‎\in ‎A‎\)‌‌‏ موجود باشد به گونه ای که به ازای هر ‎\(‎ a‎ ‎\in A ‌‌‌‎\)‌‌‏ می‌گیریم داشته باشیم:

‎\( 1_A .‎ a‎ =‎ a‎ .‎ 1‎_A =‎ ‎a‎ \)‌‌‏ .

۹. به ازای هر عضو \(‎ a‎ ‎\in A ‌‌‌‎\)‌‌عضو منحصر به فردی چون b‌‌‎ موجود باشد که نسبت به عمل دوتایی ضرب داشته باشیم:

‎\( ‌‌‌‎\forall a\in A, ‌‌‌‎\exists b‎\in A‎, ‎a.b =‎ ‎b.a =‎ ‎1_A ‌‎\)

۱۰. ‌‏به‌‎ ازای هر ‎\(‌‎ ‎x,y,z ‎\in A ‌‌‌‎\)‌‌‏ می‌گیریم عمل دوتایی ضرب بر روی عمل دوتایی جمع پخشپذیر باشد.

‌‎\( x‎ .‎ (‎ ‎y+z )‎ =‎ ‎x.y +‎ ‎x.z ‌‎\)‌‎

‎\( (‎ ‎y+z )‎ .‎ x‎ =‎ ‎y.x +‎ ‎z.x ‌‎\)‌‎

در نتیجه هر مجموعه ‌ای که در ۱۰ شرط بالا صدق کند یک میدان می‌باشد.


‏مثال. آیا اعداد گویا با دو عمل دوتایی + و . تعریف شده به صورت زیر تشکیل یک میدان را می دهد؟

‎\( ‌‎\forall ‎\frac{a}{b}, ‌‎\frac{c}{d} ‎\in Q‎\longrightarrow‎ ‌‌‌‎\frac{a}{b} + ‌‌‎\frac{c}{d} = ‌‌‌‎\frac{ad+ bc}{bd}‌‎ \)‎

‎\( ‌‎\forall ‎\frac{a}{b}, ‌‎\frac{c}{d} ‎\in Q‎\longrightarrow‎ ‌‌‌‎\frac{a}{b} . ‌‌‎\frac{c}{d} = ‌‌‌‎\frac{ac}{bd}‌‎ \)‌‌‌‎

برای اینکه ببینیم ‎\(‌‎ ‎(Q, ‎+, ‎.) ‎\)‌‌‎ تشکیل یک میدان‌‎ می‌دهد یا خیر، كافي است ۱۰ شرط بالا را برای میدان بودن بررسی کنیم.

۱. مجموعه ‌ نسبت به دو عمل دوتایی جمع و ضرب بسته است، زیرا حاصل جمع دو عدد گویا، عددی به صورت ‎\( ‌‌‌‎\frac{ad + bc}{bd} ‌‎\)‎ است که خود ‏یک عدد گویا است. پس نسبت به عمل دوتایی جمع بسته و با توجه به اینکه نسبت به عمل دوتایی ضرب، حاصل عبارت ‎\( ‌‌‌‎\frac{ac}{bd} ‌‎\)‌‌‌‎ است که خود یک عدد گویا است‏، پس نسبت به ضرب هم بسته خواهد بود.

۲. می توان به راحتی بیان نمود که \((Q , +)\) یک گروه آبلی است.

۳. همچنین می توان دید که \((Q , .)\)‏ هم یک گروه آبلی است.

۴. برای اتمام اثبات این موضوع که \((Q , + , .)\)‏ یک میدان است، کافی است پخشپذیر بودن ‎‏ \((Q , + , .)\) را نشان دهیم.

‌‎\( ‌‎\forall ‌‎\frac{a}{b} , ‌‌‌‎\frac{c}{d} , ‌‌‌‎\frac{e}{f} ,‎ ‎\in Q‎ ‌‎\longrightarrow ‌‎\frac{a}{b} .‎ ‎(‎\frac{c}{d} + ‌‌‌‎\frac{e}{f}) = ‌‌‌‎\frac{a}{b} .‎ ( ‌‌‎\frac{cf + ed}{df} )‎ = ‌‌‌‎\frac{acf + aed}{bdf‎}‎ =‎ ‎ ‎\frac{ac}{bd} + ‎\frac{ae}{bf} = ‌‌‌‎\frac{a}{b} . ‌‌‌‎\frac{c}{d} + ‌‌‎\frac{a}{b} . ‌‌‌‎\frac{e}{f}‌‏ ‌‌‎\)‌‎

‏لذا ‎‏\((Q , + , .)\)‏ یک میدان می‌باشد.


تمرین. آیا مجموعه اعداد مختلط همراه با دو عمل دوتایی جمع و ضرب تعریف شده به صورت زیر تشکیل یک میدان می‌دهد؟

\( ‌‌‌‎\forall ‎a+bi ,‎ ‎c+di ‎\in C‎ ‌‎\longrightarrow‎ ‎(a+bi)(c+di) =‎ ‎(ac-bd) +‎ ‎(bc +‎ ‎ad)i ‌‎\) ‌‎

‎\( ‌‌‌‎\forall ‎a+bi ,‎ ‎c+di ‎\in C‎ ‌‎\longrightarrow‎ ‎(a+bi)+(c+di) =‎ ‎(a+c) + ‎i‌‎(b+d) ‌‎\)

نظرات (0)

امتیاز 0 از 5 از بین 0 رای
هیچ نظری در اینجا وجود ندارد

نظر خود را اضافه کنید.

  1. ارسال نظر بعنوان یک مهمان ثبت نام یا ورود به حساب کاربری خود.
به این پست امتیاز دهید:
0 کاراکتر ها
پیوست ها (0 / 3)
مکان خود را به اشتراک بگذارید
عبارت تصویر زیر را بازنویسی کنید. واضح نیست؟

جدیدترین محصولات

فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (463)
فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پن...
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (473)
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل ...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ بازدید (567)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ بازدید (480)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ بازدید (487)
پاسخ تشریحی نمونه سوالات میانترم ریاضی م...

فایل های تصادفی

Construction of solitary solution and compacton-like solution... Construction of solitary solution and co... بازدید (19894)
نام کامل مقاله: Construction of solitary...
جزوه ریاضی عمومی 2 دکتر کیانی دانشگاه صنعتی امیرکبیر جزوه ریاضی عمومی 2 دکتر کیانی دانشگاه صن... بازدید (19451)
جزوه درس ریاضی عمومی 2 دانشگاه رشته ریاض...
شمردنی ها را بشمار، دکتر میرزاوزیری شمردنی ها را بشمار، دکتر میرزاوزیری... بازدید (11519)
نسخه پی دی اف کتاب شمردنی ها را بشمار دک...
جزوه جبر یک دکتر عین اله زاده دانشگاه صنعتی شریف ترم اول 1396 جزوه جبر یک دکتر عین اله زاده دانشگاه صن... بازدید (20898)
جزوه جبر یک دکتر عین اله زاده دانشگاه صن...
 ریاضی پایه پنجم- فصل دوم- درس سوم، مسأله‌های کسر فایل شماره ۱ نسخه WORD ریاضی پایه پنجم- فصل دوم- درس سوم، مسأل... بازدید (1383)
ریاضی پایه پنجم- فصل دوم- درس سوم، مسأل...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (89522)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (41896)
کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبا...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (41373)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (38885)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (36049)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...

جشنواره ملی رسانه های دیجیتال

امنیت در پرداخت ها

تعداد بازدید مطالب
17296375

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا