حلقه

مقطع تحصیلی: کارشناسی

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

تعریف حلقه : مجموعه ‎\( A‎\neq ‎‎\emptyset‎‎ \)‎‎ ‏‎ ‎را‎ همراه با ‎‎‏‎‏دو‎ عمل دوتایی + ‎‎‎‏ و . ‏در نظر بگیرید. مجموعه A‎ ‏‎ ‎یک‎ حلقه است هرگاه در سه شرط زیر صدق نماید:

۱. A‎‏ ‎‎نسبت‎ به عمل دوتایی جمع یک گروه آبلی باشد، این معنی می‌دهد کهA‎ ‎ ‏در‎ شرایط زیر صدق می‌کند:

  • عمل دوتایی جمع بر روی A ‎  شرکتپذیر‎ می‌باشد، یعنی

‎‎\(‎‎‎\forall a , b , c ‎\in A , (a +b) + c = a+(b+c)‎‎‎‎‎‎\)‎‎‎‎‎‏‎

  • عمل دوتایی‎ جمع بر رویA ‎‎  دارای‎ خاصیت جابه‌جایی است، یعنی

‎‎‎‎‎\(‎‎‎‎‎\forall‎‏ a , b ‎\in A , a + b = b +a‎‎‎‎\)‎

‎\(‎‎‎‎‎‏‎\exists 0 \in A , ‎\forall a ‎\in A, a+0=0+a=a‎‎‎\)‎‎

‎‎\(‎‎‎\forall a ‎\in A, ‎\exists b ‎\in A, a+b =b+a=0‎‎‎‎\) ‎‎

‎‏۲.‎ ‎A‎‎ ‎‏نسبت‎ به عمل دوتایی ضرب شرکتپذیر است، یعنی

‎‎\(‎‎‎\forall a , b , c ‎\in A , (a.b).c = a.(b.c)‎‎‎‎‎‎\)‎‎‎‎‎‏‎

۳. عمل دوتایی . ‎‏بر‎ روی عمل دوتایی + پخشپذیر است، یعنی ‎

‎‎\(‎‎‎\forall a , b , c ‎\in A , (a +b). c = a.c +b.c‎‎‎‎‎‎\)‎‎‎‎‎‏‎ (‏پخشپذیری از راست)

‎\(‎‎‎\forall a , b , c ‎\in ‎A,‎ c.(a +b)=c.a + c.b\)‎ (‏پخشپذیری از چپ)


مثال ۱. بررسی کنید \((Q , + , .)\) یک حلقه جابه جایی و یکدار می‌باشد؟ 

با توجه به مطلب گروه، می‌دانیم که \((Q , +)\) تشکیل یک گروه آبلی می‌دهد. همچنین می‌دانیم که Q نسبت به ضرب شرکتپذیر است یعنی 

‎‎\(‎‎‎\forall a , b , c ‎\in Q , (a.b).c = a.(b.c)‎‎‎‎‎‎\)‎‎‎‎‎‏‎

در آخر پخشپذیر بودن عمل دوتایی ضرب بر روی عمل دوتایی جمع را در مجموعه Q مورد بررسی قرار می‌دهیم:

\(‎‎‎\forall a , b , c ‎\in Q , (a +b). c = a.c +b.c \)‎‎‎‎‎‏‎ (‏پخشپذیری از راست)

‎\(‎‎‎\forall a , b , c ‎\in Q,‎ c.(a +b)=c.a + c.b \)‎ (‏پخشپذیری از چپ)


مثال ۲.  بررسی کنید مجموعه زیر همراه با عمل‌های دوتایی ذکر شده یک حلقه است؟

\(R =\{ f(x)=x^n| n\in \mathbb{Z}\}\)

\(\forall f(x) , g(x) \in R , f(x)+g(x)=x^n.x^m=x^{n+m} \)

\(\forall f(x) , g(x) \in R,  f(x).g(x)=fog(x)=f(g(x))=f(x^m)=(x^m)^n= x^{nm}\)

برای بررسی نمودن حلقه بودن مجموعه R کافی است، شرایط ذکر شده برای حلقه را تک تک مورد بررسی قرار دهیم. برای این منظور داریم: 

۱. R نسبت به عمل دوتایی جمع تعریف شده در بالا یک گروه آبلی است. لذا داریم:

  • R نسبت به عمل دوتایی جمع بسته است. زیرا با توجه به تعریف بالا \(x^{n+m}\) دوباره در مجموعه R واقع می‌شود.
  • R نسبت به عمل دوتایی دارای عضو همانی یک می‌باشد، زیرا به ازای هر \(f(x)\) در مجموعه R داریم: \(f(x) + 1 = 1+ f(x)=f(x)\).
  • به ازای هر عضوی دلخواه \(f(x) =x^n\) که از مجموعه R گرفته می‌شود، عضو منحصر به فردی چون \(g(x)\) در R موجود است که داریم:

\(f(x)+g(x)= 0=g(x)+f(x)\)

        کافی است \(g(x)\) را مساوی با \(x^{-n}\) در نظر بگیریم. حال کافی است که جا به جایی نسبت به عمل دوتایی جمع را مورد بررسی قرار دهیم. برای این منظور داریم:

\(\forall f(x) , g(x) \in R , f(x)+ g(x) =x^{n+m}= x^{m+n}= g(x) + f(x)\)

حال بررسی می‌کنیم که R نسبت به عمل دوتایی ضرب شرکتپذیر می‌باشد. لذا داریم:

\(\forall f(x) , g(x) \in R , f(x).g(x)= (x^m)^n=(x^n)^m= g(x).f(x)\)

و در آخر عمل دوتایی ضرب بر روی جمع پخشپذیر می‌باشد، لذا داریم:

\(\forall f(x) , g(x) , h(x) \in R, f(x).(g(x)+h(x)) = x^n.(x^m + x^k)=x^n.(x^{m+k})=(x^{m+k})^n= x^{nm} + x^{nk}=f(x).g(x)+f(x).h(x)\)

در نتیجه R نسبت به این دو عمل دوتایی یک حلقه را تشکیل می‌دهد. 


تمرین ۱ . مجموعه \(Z_4 =\{ ‎\overline{0} , ‎‎‎‎\overline{1} , ‎‎‎‎\overline{2} , ‎‎‎‎\overline{3}‎‎ \}‎‎‎‎\)‎‏ همراه با دو عمل دوتایی تعریف شده به صورت زیر در نظر بگیرید:

\(‎\forall ‎‎‎‎‎\overline{x} , ‎‎‎‎‎\overline{y} \in Z_4, ‎‎‎‎‎\overline{x} + ‎\overline{y}=‎\overline{x+y}‎ \in Z_4‎‎\)‎

‎‎\(‎\forall ‎‎‎‎‎\overline{x} , ‎‎‎‎‎\overline{y} \in Z_4, ‎‎‎‎‎\overline{x} . ‎\overline{y}=‎\overline{xy}‎ \in Z_4‎‎\)‎

‎‏آیا ‎\( (Z_‎4 ,‎ +‎ ,‎ ‎.)‎ \)‎‏ تشکیل یک حلقه را می‌دهد؟


تمرین ۲ . آیا مجموعه زیر نسبت به عمل دوتایی ضرب و جمع ماتریس‌ها تشکیل یک حلقه می‌دهد یا خیر؟

\(M_2(R) = \{ A = \left[\begin{array}{c c} a & b\\ c & d \end{array}\right] | a , b , c , d \in R \}. ‎\)‎

نظرات (0)

امتیاز 0 از 5 از بین 0 رای
هیچ نظری در اینجا وجود ندارد

نظر خود را اضافه کنید.

  1. ارسال نظر بعنوان یک مهمان ثبت نام یا ورود به حساب کاربری خود.
به این پست امتیاز دهید:
0 کاراکتر ها
پیوست ها (0 / 3)
مکان خود را به اشتراک بگذارید
عبارت تصویر زیر را بازنویسی کنید. واضح نیست؟

جدیدترین محصولات

فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (463)
فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پن...
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (473)
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل ...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ بازدید (567)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ بازدید (480)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ بازدید (487)
پاسخ تشریحی نمونه سوالات میانترم ریاضی م...

فایل های تصادفی

نمونه سوال ریاضی پایه هفتم فصل چهارم هندسه و استدلال- فایل word  شماره ۱ نمونه سوال ریاضی پایه هفتم فصل چهارم هند... بازدید (3839)
نمونه سوال ریاضی پایه هفتم فصل چهارم هند...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی عمومی یک صنعتی شریف 13950918 پاسخ تشریحی میانترم ریاضی عمومی یک صنعتی... بازدید (19047)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی عمومی یک دانشگ...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی صنعتی شریف گروه های 5 تا 12 مورخ 13960124 پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی صنعتی ش... بازدید (13138)
پاسخ تشریحی آزمون میانترم ریاضی مهندسی د...
کتاب فضاهای متریک با طعم توپولوژی دکتر میرزاوزیری کتاب فضاهای متریک با طعم توپولوژی دکتر م... بازدید (10699)
کتاب فضاهای متریک با طعم توپولوژی دکتر م...
آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- انتگرالگیری ناسره آمادگی برای امتحان ریاضی عمومی- انتگرالگ... بازدید (9828)
سوالات حل شده برای آمادگی امتحان ریاضی ع...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (89522)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (41896)
کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبا...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (41373)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (38885)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (36049)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...

جشنواره ملی رسانه های دیجیتال

امنیت در پرداخت ها

تعداد بازدید مطالب
17294905

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا