ضرب نقطه‌ای یا اسکالری یا داخلی دو بردار

مقطع تحصیلی: عمومی

رای دهی: 5 / 5

فعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستارهفعال سازی ستاره
 

تعریف ضرب نقطه‌ای دو بردار: فرض کنید که \(\overrightarrow{a} = (a_1 , ... , a_n)\) و \(\overrightarrow{b} = (b_1 , ... , b_n)\) دو بردار از مرتبه \(n\) باشند. در اینصورت ضرب نقطه‌ای دو بردار \( \overrightarrow{a} \) و \(\overrightarrow{b} \) به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

\(\overrightarrow{a} . \overrightarrow{b} = a_1 . b_1 + a_2 . b_2 + ... + a_n . b_n = \sum _{i = 1} ^n a_i . b_i\)

در واقع عبارت بالا می‌گوید که ضرب نقطه‌ای دو بردار \( \overrightarrow{a} \) و \( \overrightarrow{b} \) برابر با مجموع ضرب درایه‌های متناظر آن دو بردار می‌باشد.

ضرب نقطه ای را ضرب اسکالر دو بردار یا ضرب داخلی دو بردار را نیز می گویند.

برای بردارهای مختط، ضرب نقطه‌ای بین دو بردار به صورت زیر تعریف می‌شود:

\(\overrightarrow{a} . \overrightarrow{b} = a_1 . \overline{b_1} + a_2 . \overline{b_2} + ... + a_n . \overline{b_n} = \sum _{i = 1} ^n a_i . \overline{b_i}\)

که در آن \(\overline{b_i}\) مزدوج مختلط \(b_i\) خواهد بود.


نکته ۱. ضرب نقطه‌ای بین دو بردار \( \overrightarrow{a}\) و \( \overrightarrow{b} \) را می‌توان با استفاده از زاویه بین این دو بردار نیز به دست آورد. فرض کنید که \(\theta\) زاویه بین دو بردار \( \overrightarrow{a} \) و \( \overrightarrow{b} \) باشد. در اینصورت ضرب نقطه‌ای این دو بردار به شکل زیر به دست خواهد آمد:

\( \overrightarrow{a} . \overrightarrow{b} = || a || . ||b||cos \theta \)

به بیان ساده تر، ضرب نقطه ای دو بردار برابر است با حاصلضرب طول بردارها در کسینوس زاویه بین آن ها.بنابراین برای محاسبه زاویه بین دو بردار نیز می توان از این رابطه استفاده کرد.

با استفاده از عبارت بالا می‌توان حالت‌های زیر را نتیجه گرفت:

۱. زمانی که دو بردار عمود بر هم باشند، یعنی زاویه بین آنها ۹۰ درجه باشد. در اینصورت ضرب نقطه‌ای این دو بردار چون \( \cos 90 = 0 \) است، مساوی صفر خواهد شد.

۲. زمانی که دو بردار در یک جهت هم راستا باشند. در اینصورت زاویه بین این دو بردار صفر خواهد بود و \( \cos 0 = 1 \) است. لذا داریم:

\( \overrightarrow{a} . \overrightarrow{b} = ||a|| . ||b|| \)


نکته ۲ ارتباط بین طول یک بردار و ضرب نقطه ای. برای محاسبه اندازه یک بردار داریم:

\( \overrightarrow{a} . \overrightarrow{a} = ||a||^2 \Rightarrow ||a|| = \sqrt{ \overrightarrow{a} . \overrightarrow{a}} \)

در واقع این عبارت برابر با طول اقلیدسی یک بردار خواهد بود. پس طول یک بردار برابر با جذر حاصلضرب نقطه ای بردار در خودش است.


مثال ۱. فرض کنید که \( \overrightarrow{a} \) و \( \overrightarrow{b} \) دو بردار باشند که به صورت زیر تعریف شده‌اند. در اینصورت ضرب نقطه‌ای دو بردار را محاسبه کنید.

\( \overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} = ||a|| . ||b|| \cos \theta = ||a|| ||b|| \cos 30 = 5 \times 13 \cos 30 = 65 \frac {\sqrt{3}}{2}\)

\( \overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} = ||a|| . ||b|| \cos \theta = 10 \times 15 \cos \frac{4 \pi}{6} = 10 \times 15 \cos \frac{4 \pi}{6} = 150 \cos \frac{4 \pi}{6}\)


مثال ۲. ضرب نقطه‌ای بردارهای زیر را محاسبه کنید

۱. \( \overrightarrow{a} = ( 1 , i , 2) , \overrightarrow{b} = (2 , 0 , i+1) \)

چون مولفه‌های بردار مختلط هستند، داریم:

\( \overrightarrow{a} .\overrightarrow{b} = 1 \times \overline{2} + i \times \overline{0} + 2 \times (\overline{i+1}) = 2 + 0 + 2(1-i) = 2 + 2 -2i = 4-2i \)

۲. \(  \overrightarrow{a} = ( 5,3) , \overrightarrow{b} = (7,1)\)

\( \overrightarrow{a} . \overrightarrow{b} = (5,3).(7,1) = 35+3 = 38\)


مثال ۳. فرض کنید که دو بردار \( \overrightarrow{a} \)  و \( \overrightarrow{b} \) دارای اندازه‌های ۵ و ۱۰ باشند. ضرب نقطه‌ای این دو بردار برابر با ۳۵ باشد. در اینصورت زاویه بین این دو بردار را محاسبه کنید.

\( \overrightarrow{a} . \overrightarrow{b} = || a || . ||b||\cos \theta \)

با استفاده از این فرمول داریم:

\( 35 = 10 \times 5 cos \theta \Rightarrow \frac{35}{50} = \cos \theta \Rightarrow \frac{7}{10} = \theta = \cos^{-1}(0.7) \)


تمرین ۱. ضرب داخلی بین دو بردارهای \( \overrightarrow{a}\) و \(\overrightarrow{b} \) را محاسبه کنید.

\(\overrightarrow{a} = (5i , 1+i , 2i)\)

\(\overrightarrow{b} = (3i , 2i , 1)\)


تمرین ۲. زاویه بین دو بردار \( \overrightarrow{a} \)  و \( \overrightarrow{b} \) زمانی که اندازه \( \overrightarrow{a} =3 \)  و \( \overrightarrow{b} = 5 \) می‌باشد و ضرب نقطه‌ای بین آنها \(\overline{30}\) است را محاسبه کنید.

نظرات (0)

امتیاز 0 از 5 از بین 0 رای
هیچ نظری در اینجا وجود ندارد

نظر خود را اضافه کنید.

  1. ارسال نظر بعنوان یک مهمان ثبت نام یا ورود به حساب کاربری خود.
به این پست امتیاز دهید:
0 کاراکتر ها
پیوست ها (0 / 3)
مکان خود را به اشتراک بگذارید
عبارت تصویر زیر را بازنویسی کنید. واضح نیست؟

جدیدترین محصولات

فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (463)
فایل pdf پاسخ سوال ریاضی پایه ششم فصل پن...
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل پنجم درس اول طول و سطح- شماره ۱ بازدید (473)
فایل word نمونه سوال ریاضی پایه ششم فصل ...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۳۲۰ بازدید (566)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۸۹۰۹۲۹ بازدید (480)
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه...
پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ پاسخ تشریحی میانترم ریاضی مهندسی دانشگاه تهران ۱۳۹۳۰۸۲۹ بازدید (487)
پاسخ تشریحی نمونه سوالات میانترم ریاضی م...

فایل های تصادفی

پاسخ تشریحی میانترم آنالیز ریاضی 1 دانشگاه شاهرود استاد موسوی 13910212 پاسخ تشریحی میانترم آنالیز ریاضی 1 دانشگ... بازدید (14731)
پاسخ تشریحی میانترم آنالیز ریاضی 1 دانشگ...
پروژه برنامه ریزی ریاضی غیر خطی با شرایط فازی با رویکرد برش الفا در بهینه سازی تابع هدف به همراه کد گمز Gams پروژه برنامه ریزی ریاضی غیر خطی با شرایط... بازدید (2624)
پروژه برنامه ریزی ریاضی غیر خطی با شرایط...
Cambridge International AS and A Level Mathematics October November 2021 9709-2 With Mark Scheme Cambridge International AS and A Level M... بازدید (1705)
Cambridge International AS and A Level M...
پاسخنامه پایانترم ریاضی عمومی 1، فنی مهندسی شاهرود 13950322 پاسخنامه پایانترم ریاضی عمومی 1، فنی مهن... بازدید (18035)
پاسخ سوالات آزمون پایانترم ریاضی عمومی 1...
Graphs and Matrces مقدمه و فهرست مطالب Graphs and Matrces مقدمه و فهرست مطالب... بازدید (20361)
مقدمه و فهرست مطالب کتاب گراف ها و ماتری...

پربازدیدترین محصولات

حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین حل المسائل کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (89521)
پاسخ سوالات و تمرینات کتاب نظریه مجموعه ...
نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبانی ریاضی) لین و لین بازدید (41896)
کتاب نظریه مجموعه ها و کاربردهای آن (مبا...
مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری مثلث نوشته دکتر میرزاوزیری بازدید (41373)
کتاب مثلث دکتر میرزاوزیری ، رمز فایل www...
اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری اشتباه سوزنبان دکتر میرزاوزیری بازدید (38885)
نویسنده : دکتر مجید میرزاوزیری ؛ چاپ او...
آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست آشنایی با نظریه گراف، دوگلاس بی وست بازدید (36049)
دانلود کامل کتاب آشنایی با نظریه گراف دو...

جشنواره ملی رسانه های دیجیتال

امنیت در پرداخت ها

تعداد بازدید مطالب
17294607

ارسال پیام برای ما

  Mail is not sent.   Your email has been sent.
بالا