معادلات دیفرانسیل مرتبه اول شدنی: بخش دوم
رای دهی: 5 / 5
به نام خدا
الهم صل علی محمد و آل محمد
دسته دوم معادلات قابل تبدیل به مرتبه اول:
به شکل کلي معادله ديفرانسيل زير دقت کنيد :
اين معادله نشان دهنده ي يک معادله ديفرانسيل ِ مرتبه دوم است که متغير x در آن ظاهر نشده است.
چگونگي حل اينکونه معادلات :
براي حل اين گونه معادلات از تغيير متغير 
کمک مي گيريم. با اين انتخاب خواهيم داشت :
اگر در معادله ي 
، تغيير متغيررا اعمال کنيم به معادله اي مانند 
مي رسيم که اين معادله ، يک معادله ي مرتبه اول است که y به عنوان متغير مستقل ِ آن و u به عنوان متغير وابسته در نظر گرفته مي شود. پس از آن که اين معادله را نسبت به y حل کرديم و رابطه ي بين u و y را يافتيم، تغيير متغير را برگردانده و با انتگرال گيري نسبت به x ، به جواب عمومي ِ معادله مي رسيم.
اگر اين کلي گويي برايتان نامفهوم است، مثال ها را دنبال کنيد.
مثال 25.2: معادله ديفرانسيل 
را حل کنيد.
حل: همان گونه که توجه داريد ، در اين معادله متغير x ظاهر نشده است. بنابراين تغيير متغير را انتخاب مي کنيم . پس بنابر آنچه گفته شد : 
.
بنابراين معادله ي داده شده به معادله ي زير تغيير شکل مي دهد :
که اين معادله ، يک معادله ي جداپذير است و جواب عمومي آن اين گونه است :
u = cy
اکنون تغيير متغير را بر مي گردانيم :
که باز هم به يک معادله ي جداپذير رسيديم. با حل آن سرانجام جواب زير به دست مي آيد :
که اين جواب عمومي معادله ي اصلي خواهد بود که در آن c و 
اعداد حقيقي دلخواه هستند.
مثال 26.2: جواب مسأله مقدار اوليه زير را به دست آوريد :
حل: ابتدا جواب عمومي معادله ديفرانسيل داده شده را به دست مي آوريم و سپس با شرايط داده شده، جواب خصوصي را از جواب عمومي بيرون مي کشيم.
با توجه به اينکه در ضابطه ي معادله، متغير x ظاهر نشده است پس تغيير متغير را انتخاب مي کنيم . پس .
. با جايگزاري اين دو در معادله ي اصلي خواهيم داشت :
که 
يک معادله ي خطي مرتبه اول است و داراي عامل انتگرال ساز ِ
مي باشد. پس جواب عمومي اين گونه است :
اکنون قرار مي دهيم :
که 
يک معادله ي جداپذير است و جواب عمومي آن به صورت زير است :
رابطه ي 
جواب عمومي مسأله است. اکنون با توجه به شرايط اوليه ي داده شده در صورت مثال، جواب مسأله مقدار اوليه را مي يابيم :
بنابراين جواب مساله ي مقدار اوليه اين گونه است :
به اميد اينکه در حل معادلات مرتبه اول مهارت کافي را کسب کرده باشيد، بحث در مورد معادلات ديفرانسيل مرتبه اول را در همين جا به پايان مي بريم . البته حتماً شما نيز پي برده ايد که براي کسب مهارت در حل معادلات ديفرانسيل، نياز است که در روش هاي انتگرال گيري ورزيده باشيد . چون ، همان گونه که مشاهده نموديد، حل يک معادله ديفرانسيل دست کم يک مورد انتگرال گيري نياز دارد.
در فصل بعدي به معادلات خطي مراتب بالاتر خواهيم پرداخت.
