ميان ترم جبر 1 دكتر كيوانفر نيمسال اول 76-1375
نام آزمون : ميان ترم جبر 1
تاريخ برگزاري : نيمسال اول 76-1375
نام استاد : دكتر كيوانفر
دانشگاه : فردوسي مشهد
دانشكده : علوم رياضي و آمار
1. مفاهيم و اصطلاحات زير را به طور دقيق تعريف كنيد :
عمل دوتايي ، همرده ، گروه دوري ، زير گروه نرمال ، مرتبه ي يك عنصر از گروه، گروه خارج قسمتي، همريختي گروه ها، دور، گروه متناوب، گروه خطي خاص.
2. قضيه ي كيلي را بيان و اثبات نماييد.
3. گروه هاي دوري را تا حد يكريختي چگونه مي توان دسته بندي و توصيف كرد؟ ادعاي خود را با استدلال بيان كنيد.
4. فرض كنيد A و B دو گروه دوري متناهي از مرتبه هاي m و n باشند به طوري كه 
ثابت كنيد گروه 
دوري است. آيا شرايط بكار رفته در مسئله ضروري است؟ ادعاي خود را با استدلال نشان دهيد.
5. اگر
و 
آنگاه جايگشت 
را بدست آوريد.
6. فرض كنيد G يك گروه و H و K دو زير گروه از G باشند به طوري كه 
و 
. آيا مي توان نتيجه گرفت كه 
؟ در صورت مثبت بودن جواب ادعاي خود را ثابت كنيد و در غير اين صورت با مثالي ادعاي خود را نشان دهيد.
7. آ- اگر G يك گروه و داشته باشيم : 
. آنگاه ثابت كنيد G آبلي است.
ب – ثابت كنيد هر گروه از مرتبه كوچكتر يا مساوي 5 ، آبلي است.
8. فرض كنيد G يك گروه متناهي و p كوچكترين عدد اولي باشد كه 
. نشان دهيد هر زيرگروه G از انديس p نرمال است.
9. گروه خارج قسمت 
را محاسبه كنيد. آيا اين گروه دوري است؟ اين گروه با چه گروه شناخته شده اي يكريخت است؟
10 . فرض كنيد G يك گروه آبلي و
كه در آن 
و و نيز عناصري مانند a و b موجودند به طوري كه 
و
. ثابت كنيد G دوري است. با مثالي نشان دهيد كه شرط آبلي بودن اساسي است.
