حلقه آبلی

تعریف حلقه‌ آبلی: فرض کنید که R همراه با دو عمل دوتایی + و . تشکیل یک حلقه بدهد. R را یک حلقه آبلی با جابه‌جایی گویند، هرگاه این حلقه نسبت به عمل دوتایی ضرب دارای ویژگی زیر باشد:

$\forall a,b \in R;     a.b = b.a $

این عبارت بيان می‌كند، كه اعضای حلقه R همواره نسبت به عمل دوتایی ضرب جابه‌جا شوند.

مثال۱. ثابت کنید که مجموعه $ M_{n \times n} (R) = \{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} | a,b,c,d \in R \} $ نسبت به عمل جمع و ضرب ماتریس‌ها تشکیل یک حلقه جابه‌جایی را نمی‌دهد.

برای اثبات این موضوع که $ M_{n \times n} (R) $ همراه با دو عمل دوتایی جمع و ضرب ماتریس‌ها تشکیل یک حلقه را می‌دهد. به گونه زیر عمل می‌کنیم.

۱. ثابت می‌کنیم که $ M_{n \times n} (R) $ نسبت به عمل دوتایی جمع یک گروه آبلی است، لذا داریم:

• به ازای دو ماتریس‌ A و Bای که از $ M_{n \times n} (R) $ بگیریم، چون مجموع دو ماتریس‌ $ 2 \times 2 $، یک ماتریس‌ $ 2 \times 2 $ است، لذا داریم:

$A+B \in M_{n \times n}(R)$

• مجموعه $ M_{n \times n} (R) $ نسبت به عمل دوتایی جمع ماتریس‌ها دارای خاصیت شرکتپذیری است، زیرا به ازای هر سه ماتریس‌ $  A,B,C $ که از $ M_{n \times n} (R) $ بگیریم، همواره داریم:

$ (A+B) + C = A + (B+C) $

• عضوی چون $ A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \in M_{n \times n} (R) $ موجود است، به قسمی که به ازای هر ماتریس‌ $ B \in M_{ n \times n} (R) $ بگیریم، همواره داریم:

$ A+B = B+A = B $

• به ازای هر ماتریس‌ $ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \in M_{n \times n} (R) $ بگیریم، ماتریسي چون $ A = \begin{bmatrix} -a & -b \\ -c & -d \end{bmatrix} \in M_{n \times n} (R) $ موجود است، به قسمی که داریم:

 $ A+B = 0 = B + A $

۲) مجموعه $ M_{n \times n} (R) $ نسبت به عمل دوتایی  ضرب ماتریسی دارای ویژگی‌های زیر می‌باشد:

• $ M_{n \times n} (R) $ نسبت به عمل دوتایی ضرب ماتریسی دارای ویژگی های زیر می‌باشد.
• نسبت به عمل دوتایی ضرب ماتریسی بسته است. چون ضرب دو ماتریس‌ $ 2 \times 2 $ یک ماتریس‌ $ 2 \times 2 $ می‌باشد.

۳) در نهایت عمل دوتایی ضرب بر روی عمل دوتایی جمع ماتریسی خاصیت پخشپذیر بودن را دارد. به عنوان تمرین ثابت کنید.

با استفاده از ویژگی های بالا ثابت شد که مجموعه $ M_{n \times n} (R) $ یک حلقه است، اما این حلقه  یک حلقه جابه‌جایی نیست، زیرا اگر دو ماتریس A و B زیر را داشته باشیم، داریم:

$ A = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} $,   $ B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $

⇒ $ BA = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$

⇒ $ AB = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

در نتیجه $ AB \neq BA $ خواهد شد. پس جابه‌جایی نیست.

تمرین ۱. ثابت کنید که مجموعه زیر با دو عمل دوتایی تعریف شده یک حلقه جابه‌جایی است.

$ R [n] = \{ (a_0 , ... , a_{n} , ... ) | a_1 \in R , a_{i} = 0 \} $

$ ( a_0 , a_1 , ... , a_{n} , ... ) + ( b_0 , b_1 , ... , b_{n} , ... ) = (a_0 + b_0 , a_1 + b_1 , ... , a_{n} + b_{n} , ... ) $

$ ( a_0 , a_1 , ... , a_{n} , ...) . ( b_0 , b_1 , ... , b_{n} , ... ) = ( C_0 , C_1 , ... , C_{n} , ... ) $

که در آن داریم $ C_{i} = \sum_{k=0} ^{i} a_{k} b_{i-k} $ 

تمرین ۲. آیا مجموعه $ nZ = \{ nk | k \in Z \} $ دو عمل دوتایی زیر یک حلقه جابه‌جایی است یا خير؟

$ nk_1 + nk_2 = n(k_1 + k_2) $

$ (nk_1) (nk_2) = nk_3 = n(nk_1 k_2) $