حلقه یکدار

تعریف حلقه يکدار: فرض کنید که R نسبت به دو عمل دوتایی + و . تشکیل یک حلقه بدهد. R را یک حلقه یکدار گویند، هرگاه عضوی چون $ 1_{R} \in R $ موجود باشد به قسمی که به ازای هر $ a \in R $ داشته باشیم:

 $ a.1_{R} = 1_{R}.a = a $

مثال۱. ثابت کنید که $\mathbb{Q}$ همراه با دو عمل دوتایی جمع و ضرب معمولی اعداد یک حلقه یکدار است.

برای اثبات این موضوع که $\mathbb{Q}$ نسبت به دو عمل دوتایی جمع و ضرب معمولی یک حلقه یکدار است. داریم:

۱. $(\mathbb{Q} , +)$ یک گروه آبلی است. يعني داريم:

• $\mathbb{Q}$ نسبت به عمل دوتایی جمع بسته است. 
• $\mathbb{Q}$ نسبت به عمل دوتایی جمع جابه‌جايي است.
• $\mathbb{Q}$ نسبت به عمل دوتایی جمع شركتپذیر است. 
• $\mathbb{Q}$ نسبت به عمل دوتایی جمع دارای عضو همانی است. 
• $\mathbb{Q}$ نسبت به عمل دوتایی جمع دارای عضو وارن به ازای هر عضو می‌باشد.

۲. $(\mathbb{Q} , .)$ بسته و شرکت پذیر است.

۳. عمل دوتایی ضرب بر روی عمل دوتایی جمع پخشپذیر است.

و اینکه در نهایت برای اثبات حلقه یکدار بودن داریم:

۴. عضو $1 \in \mathbb{Q}$ موجود است، به قسمی که به ازای هر $a\in \mathbb{Q}$ بگیریم، داریم:

$ 1.a = a.1 =a $

در نتیجه $\mathbb{Q}$  نسبت به عمل دوتایی ضرب دارای یک عضو همانی است. در نتیجه این حلقه یک حلقه یکدار است. 

تمرین ۱. ثابت کنید که مجموعه $ M_{n \times n} (\mathbb{R}) = \{ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} | a,b,c,d \in R , ad - bc \neq 0 \} $ یک حلقه یکدار است.

تمرین ۲. آیا مجموعه $ 2Z = \{ 2k | k \in Z \} $ یک حلقه یکدار است یا خیر.

تمرین ۳. آیا مجموعه $ Z_{n} = \{ \overline{0} , \overline{1} , ... \overline{n-1} \} $ همراه با عمل دوتایی جمع و ضرب معمولی تشکیل یک حلقه یکدار می‌دهد یا خیر؟

$ \forall \overline{a} , \overline{b} \in Z_{n} ;  \overline{a+b} = \overline{a} + \overline{b}$

$ \forall \overline{a} , \overline{b} \in Z_{n} ;  \overline{ab}  = \overline{a} \overline{b} $

که در آن نماد $\overline{i}$ به مفهوم زیر است:

$\overline{i}=\{m \in \mathbb{Z} | m=nq+i , q \in \mathbb{Z} \}$