نوشته شده در 06 ارديبهشت 1405 در مجموعه: فصل ۵- شمارنده‌ها و اعداد اول

رابطه بین ب.م.م و ک.م.م و حاصلضرب دو عدد

ارتباط بین ب.م.م و ک.م.م دو عدد

در درس‌های قبل سایت ریاضیات ایران، ب.م.م و ک.م.م دو عدد را آموختیم. همچنین یادگرفتیم چگونه ب.م.م و ک.م.م را با روش تجزیه به شمارنده های اول، به دست آوریم. ابزار آنلاین تجزیه به شمارنده‌های اول را نیز به شما معرفی کردیم. در این درس، رابطه‌ای مهم و کاربردی را به شما معرفی می‌کنیم که بین ب.م.م و ک.م.م دو عدد وجود دارد.

رابطه‌ی مهم بین ب.م.م و ک.م.م

حاصلضرب ب.م.م و ک.م.م دو عدد با حاصلضرب آن دو عدد برابر است.

به زبان ریاضی یعنی

\[ (a,b) \times [a,b] = a \times b \]

توضیح کوتاه که چرا این رابطه درست است.

ب.م.م از «بخش‌های مشترک» دو عدد ساخته می‌شود و ک.م.م از «پوشش کامل» دو عدد. حاصل‌ضرب این دو برابر حاصل‌ضرب خود عددهاست.

مثال ۱: ب.م.م و ک.م.م اعداد ۱۲ و ۱۸ را پیدا کنید و رابطه را بررسی کنید.

$ 12 = 2^2 \times 3,\quad 18 = 2 \times 3^2 $

ب.م.م = ۶

ک.م.م = ۳۶

$ 6 \times 36 = 216 = 12 \times 18 $

مثال ۲: ب.م.م و ک.م.م اعداد ۱۵ و ۲۴ را بیابید.

$ 15 = 3 \times 5,\quad 24 = 2^3 \times 3 $

ب.م.م = ۳

ک.م.م = ۱۲۰

مثال ۳: می‌دانیم ب.م.م (۸،۲۰)=۴ است. ک.م.م را پیدا کنید.

$ 4 \times \text{ک.م.م} = 8 \times 20 = 160 $

ک.م.م = ۴۰

مثال ۴ : اگر ک.م.م (۶،۳۰)=۳۰ باشد، ب.م.م را پیدا کنید.

$ \text{ب.م.م} \times 30 = 6 \times 30 $

ب.م.م = ۶

مثال ۵ : دو عدد a و b داریم که ب.م.م (a,b)=۴ و ک.م.م (a,b)=۴۸ است. حاصل‌ضرب a×b را بیابید.

$ a \times b = 4 \times 48 = 192 $

تمرین

ب.م.م و ک.م.م عددهای زیر را پیدا کنید:
- الف) ۹ و ۱۲
- ب) ۱۴ و ۲۱
- ج) ۱۸ و ۳۰
- د) ۱۶ و ۲۰
- ه) ۲۷ و ۴۵
با استفاده از رابطه بین ب.م.م و ک.م.م دو عدد، مقدار خواسته شده را بیابید:
- الف) ب.م.م(۱۰،۲۵)=۵ → ک.م.م؟
- ب) ک.م.م(۹،۱۵)=۴۵ → ب.م.م؟
- ج) ب.م.م(۱۲،۴۲)=۶ → ک.م.م؟
- د) ک.م.م(۸،۲۴)=۲۴ → ب.م.م؟
- ه) ب.م.م(۶،۲۰)=۲ → ک.م.م؟
کامل کنید:
- الف) ب.م.م(a,b)=۳ و ک.م.م(a,b)=۶۰ ⇒ a×b = ؟
- ب) ب.م.م(a,b)=۲ و a×b = ۵۶ ⇒ ک.م.م = ؟
- ج) ک.م.م(a,b)=۴۸ و a×b=۱۹۲ ⇒ ب.م.م = ؟
- د) ب.م.م(a,b)=۵ و یکی از دو عدد ۱۵ است → عدد دیگر؟
- ه) ک.م.م(a,b)=۸۴ و یکی از دو عدد ۲۱ است → عدد دیگر؟
درست یا نادرست؟ دلیل کوتاه بنویسید:
- الف) اگر ب.م.م دو عدد ۱ باشد، ک.م.م آن‌ها برابر حاصل‌ضرب دو عدد است.
- ب) اگر یکی از دو عدد بر دیگری بخش‌پذیر باشد، ک.م.م همان عدد بزرگ‌تر است.
- ج) اگر ب.م.م زیاد باشد همیشه ک.م.م کوچک می‌شود.
- د) ب.م.م همیشه کوچکتر از هر دو عدد است.
- ه) ک.م.م همیشه بزرگتر یا مساوی با هر دو عدد است.
دو عدد پیدا کنید که:
- الف) ب.م.م آن‌ها ۴ و ک.م.م آن‌ها ۳۲ باشد.
- ب) ب.م.م آن‌ها ۳ و ک.م.م آن‌ها ۳۰ باشد.
- ج) حاصل‌ضربشان ۱۸۰ باشد و ب.م.م آن‌ها ۶ باشد.
- د) یکی ۱۲ باشد و ک.م.م ۶۰ باشد.
- ه) یکی ۸ باشد و ب.م.م ۴ باشد.

جمع‌بندی

رابطه بین ب.م.م و ک.م.م و حاصلضرب دو عدد به صورت زیر است:.
\[ (a,b) \times [a,b] = a\times b \]
از این رابطه برای به‌دست آوردن مقادیر گمشده استفاده می‌کنیم.
در مسائل متنوع شامل تکمیل جدول، پیدا کردن عدد گمشده، بررسی درست یا نادرست و… کاربرد دارد.

شمارنده, بزرگترین مقسوم علیه مشترک (ب م م ), ک م م ( کوچکترین مضرب مشترک دو عدد )

بازدید: 132

مطلب بعدی: ک م م ( کوچکترین مضرب مشترک دو عدد )

کاربران 935
مطالب 1098
نمایش تعداد مطالب 16278791