1.الف) فرض کنید Xو Y دو فضای نرمدار باشند. نشان دهید یک فضای نرمدار است و اگر Y کامل باشد آنگاه یک فضای باناخ است. همچنین نشان دهید اگر X و Y باناخ باشند و آنگاه T فشرده است فقط و فقط وقتی که فشرده باشد.

ب) فرض کنید Xو Y دو فضای باناخ و و در Y بسته باشد. ثابت کنید

و

2.الف) فرض کنید X یک فضای باناخ و عملگری فشرده و و . نشان دهید E متناهی است و به ازای هر ، .

ب)عملگرهای Sو M روی به صورت زیر تعریف شده اند:

نشان دهید S عملگری فشرده و بدون مقدار ویژه و طیف آن تنها یک نقطه دارد و را محاسبه کنید.

3.الف) فرض کنید A یک جبر باناخ و . اولاً نشان دهید فشرده است و با استفاده از قضیه لیوویل نشان دهید ناتهی است و ثانیاً

ب) فرض کنید موجود باشد به طوری که به ازای هر . ثابت کنید A جابجایی است.

ج)

4.الف) لـم وینر را بیان و اثبات کنید.

ب) فرض کنید X یک فضای هاسدورف فشرده و نرم سوپریمم. نشان دهید X فضای ایده آل ماکسیمال است.