نام آزمون: میانترم معادلات دیفرانسیل با پاسخ تشریحی

دانشگاه: صنعتی شریف

دانشکده علوم ریاضی

اساتید: اسماعیلی، فیروزی، مجتهدی

نیمسال اول ۹۵-۱۳۹۴

تاریخ برگزاری: 28 آبان 1394 (13940828)

وقت ۲.۵ ساعت

دانلود فایل PDF پایانترم (همین آزمون)

دانلود پاسخ تشریحی سوالات آزمون پایانترم (همین آزمون)

سؤال ۱. (۱۵ نمره) معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید:

$y'-y^2=-2xy+x^2$
 

سؤال ۲. (۱۵ نمره) جواب عمومی معادله دیفرانسیل زیر را بدست آورید:

$ydx+(2x-ye^y)dy=0$

سؤال ۳. فرض کنید $y_1,y_2$ مجموعه ای اساسی از جواب های معادله $y'' + \cos(t) y' + e^t y = 0$ باشند. همچنین فرض کنید $2y_1- y_2$ ، به ترتیب جواب‌های از مساله‌های مقدار اولیه $ \left \{ \begin{array}{ll} y(0) =1  \\  y'(0)=-2  \end{array} \right. $  و     $ \left \{ \begin{array}{ll} y(0) = 0\\ y'(0)=0 \end{array} \right. $ باشند.

(آ) (۱۰ نمره) مقدار رانسکین $y_1$ و $y_2$ را در نقطه $t=0$ به دست آورید.

(ب) (۵ نمره) مقدار رانسکین $y_1$ و $y_2$ را در نقطه دلخواه t به دست آورید.

سؤال ۴. (آ) کدام یک از اشکال زیر میدان جهت برای معادله دیفرانسیل $y'= \sin (y) +t $ است؟

،  

(ب) (۵ نمره) از  روی میدان جهت، رفتار جواب مساله مقدار اولیه $y(0) = -5 $ را توصیف کنید. (رفتار تابع در$\pm \infty$ )

سؤال ۵. (۱۵ نمره) معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید.

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + 2y^2}{2xy} $

 سؤال 6. (۱۰ نمره) فرض کنید $\{ y_1 , y_2 \} $ مجموعه اساسی از جواب ها برای یک معادله همگن خطی مرتبه دوم باشند. شرط لازم و کافی برای این که $\{ ay_1 + by_2 , cy_1 + dy_2 \}$  مجموعه اساسی جواب برای همان معادله باشد را بیابید و ادعای خود را ثابت کنبد.

موفق باشید.

دانلود فایل PDF پایانترم (همین آزمون)

دانلود پاسخ تشریحی سوالات آزمون پایانترم (همین آزمون)