معادلات دیفرانسیل مرتبه اول شدنی: بخش دوم

چگونگي حل اينکونه معادلات :

براي حل اين گونه معادلات از تغيير متغير کمک مي گيريم. با اين انتخاب خواهيم داشت :

اگر در معادله ي ، تغيير متغيررا اعمال کنيم به معادله اي مانند مي رسيم که اين معادله ، يک معادله ي مرتبه اول است که y به عنوان متغير مستقل ِ آن و u به عنوان متغير وابسته در نظر گرفته مي شود. پس از آن که اين معادله را نسبت به y حل کرديم و رابطه ي بين u و y را يافتيم، تغيير متغير را برگردانده و با انتگرال گيري نسبت به x ، به جواب عمومي ِ معادله مي رسيم.

اگر اين کلي گويي برايتان نامفهوم است، مثال ها را دنبال کنيد.

مثال 25.2: معادله ديفرانسيل را حل کنيد.

حل: همان گونه که توجه داريد ، در اين معادله متغير x ظاهر نشده است. بنابراين تغيير متغير را انتخاب مي کنيم . پس بنابر آنچه گفته شد : .

بنابراين معادله ي داده شده به معادله ي زير تغيير شکل مي دهد :

که اين معادله ، يک معادله ي جداپذير است و جواب عمومي آن اين گونه است :

u = cy

اکنون تغيير متغير را بر مي گردانيم :

که باز هم به يک معادله ي جداپذير رسيديم. با حل آن سرانجام جواب زير به دست مي آيد :

که اين جواب عمومي معادله ي اصلي خواهد بود که در آن c و اعداد حقيقي دلخواه هستند.

مثال 26.2: جواب مسأله مقدار اوليه زير را به دست آوريد :

حل: ابتدا جواب عمومي معادله ديفرانسيل داده شده را به دست مي آوريم و سپس با شرايط داده شده، جواب خصوصي را از جواب عمومي بيرون مي کشيم.

با توجه به اينکه در ضابطه ي معادله، متغير x ظاهر نشده است پس تغيير متغير را انتخاب مي کنيم . پس .

. با جايگزاري اين دو در معادله ي اصلي خواهيم داشت :

که يک معادله ي خطي مرتبه اول است و داراي عامل انتگرال ساز ِ

مي باشد. پس جواب عمومي اين گونه است :

اکنون قرار مي دهيم :

که يک معادله ي جداپذير است و جواب عمومي آن به صورت زير است :

رابطه ي جواب عمومي مسأله است. اکنون با توجه به شرايط اوليه ي داده شده در صورت مثال، جواب مسأله مقدار اوليه را مي يابيم :

بنابراين جواب مساله ي مقدار اوليه اين گونه است :

به اميد اينکه در حل معادلات مرتبه اول مهارت کافي را کسب کرده باشيد، بحث در مورد معادلات ديفرانسيل مرتبه اول را در همين جا به پايان مي بريم . البته حتماً شما نيز پي برده ايد که براي کسب مهارت در حل معادلات ديفرانسيل، نياز است که در روش هاي انتگرال گيري ورزيده باشيد . چون ، همان گونه که مشاهده نموديد، حل يک معادله ديفرانسيل دست کم يک مورد انتگرال گيري نياز دارد.

در فصل بعدي به معادلات خطي مراتب بالاتر خواهيم پرداخت.