معادلات دیفرانسیل مرتبه اول شدنی: بخش اول

در اين معادله ، متغير وابسته يعني y ، ديده نمي شود و دو مشتق متوالي ِ آن در ضابطه ي معادله وجود دارند. براي تبديل ِ اين معادله به معادله ي مرتبه ي اول ، از تغيير متغير استفاده مي کنيم . با اين انتخاب ، خواهد شد و با جايگزيني در معادله ي ، معادله ديفرانسيل مرتبه اول ِ

به دست خواهد آمد .

اکنون با توجه به اين که معادله ي از کدام نوع ِ معادلات مرتبه اول است ، به حل آن پرداخته و سرانجام تغيير متغير را برگردانده و با انتگرال گيري نسبت به x ، به جواب عمومي معادله ي مي رسيم.

مثال ها را دنبال کنيد تا مفهوم جملات بالا را بهتر درک کنيد :

مثال 23.2 : جواب عمومي معادله ي را بيابيد.

حل : اين معادله ، يک معادله ي مرتبه دوم است که y در آن حضور ندارد. با انتخاب ِ تغيير متغير خواهيم داشت :

و معادله ي داده شده به معادله ي

تبديل مي شود. اکنون اين معادله را حل مي کنيم :

پس اين معادله يک معادله ي جداپذير است و جواب عمومي آن اين گونه است :

اکنون قرار مي دهيم :

اکنون با انتگرال گيري نسبت به x خواهيم داشت :

اگر قرار دهيم آنگاه جواب عمومي معادله ي داده شده به صورت خلاصه ي زير خواهد بود :

مثال 24.2 : معادله ي زير را حل کنيد :

حل : تغيير متغير را انتخاب مي کنيم. پس و با جايگزاري در معادله ي خواهيم داشت :

اين معادله يک معادله ي خطي مرتبه اول است . عامل انتگرال ساز آن عبارت است از :

بنابراين داراي جواب عمومي زير است :

و با قرار دادن داريم :

اکنون با دو بار انتگرال گيري نسبت به x به جواب عمومي خواهيم رسيد: