سری مک‌لورن ( Maclaurin Series ) چیست؟

سری مک‌لورن همان سری تیلور حول نقطه \( x=0 \) است. بنابراین تعریف زیر را برای آن خواهیم داشت:

تعریف سری مک‌لورن:

فرض کنید \( f(x) \) یک تابع حقیقی است که در نقطه \( x = 0 \)‌ بی‌نهایت بار مشتق پذیر می‌باشد. سری مک‌لورن تابع \( f(x) \)  را در نقطه‌ی \( x = 0 \) به صورت زیر ارائه می‌دهد:

\( \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)} (0) \frac{x^{n}}{n!} = f(0) + f^{\prime} (0) x + f^{\prime\prime} (0) \frac{x^{2}}{2!} + f^{(3)} (0) \frac{x^{3}}{3!} + \cdots + f^{(3)} (0) \frac{x^{3}}{3!} + \cdots \)

که به آن سری مک‌لورن تابع \( f(x) \)‌ می‌گوییم.

توجه داشته باشید که در فرمول بالا، \( f^{(n)} (0) \) به معنی مشتق  \( n \)‌م تابع \( f(x) \)  در نقطه‌ی \( x = 0 \) است.

به سری مک‌لورن، بسط مک‌لورن نیز گفته می‌شود.

روش محاسبه سری مک‌لورن:

برای محاسبه سری مک‌لورن یک تابع، ابتدا مقدار تابع را در نقطه \( x=0 \) به دست می‌آوریم. سپس مشتق تابع را گرفته و مقدار مشتق را در نقطه \( x=0 \) محاسبه می‌کنیم. پس از آن به ترتیب مشتق مرتبه دوم و سوم و ... را در نقطه \( x=0 \) محاسبه می کنیم. سپس مقادیر به دست آمده را در فرمول بالا جایگذاری کرده و بسط مک‌لورن تابع به دست خواهد آمد.

اکنون با یک مثال به خوبی روش کار را ببینیم.

مثال: بسط مک‌لورن تابع \( \cos x \) را به دست آورید.

حل: در این مثال \( f(x) = \cos x \). ابتدا مقدار تابع در این نقطه را محاسبه می کنیم و سپس مشتقات تابع را در این نقطه حساب می‌کنیم.

\( f(x) = \cos x \Longrightarrow f (0) = \cos (0) = 1 \)

\( f(x) = \cos x \Longrightarrow f^{\prime} (x) = - \sin (x)  \Longrightarrow f^{\prime} (0) = - \sin (0) = 0 \)

\( f^{\prime}(x) = - \sin (x) \Longrightarrow f^{\prime\prime} (x) = - \cos (x)  \Longrightarrow f^{\prime\prime} (0) = - \cos (0) = -1 \)

\( f^{\prime\prime}(x) = - \cos (x) \Longrightarrow f^{(3)} (x) =  \sin (x)  \Longrightarrow f^{(3)} (0) =  \sin (0) = 0 \)

\( f^{(3)}(x) = \sin (x) \Longrightarrow f^{(4)} (x) =  \cos (x)  \Longrightarrow f^{(4)} (0) =  \cos (0) = 1 \)

و به همین ترتیب مشتق مراتب بالاتر در نقطه \( x = 0 \)  به صورت زیر تکرار خواهد شد:

\(  f^{(5)} (0) = 0  , f^{(6)} (0) = -1  , f^{(7)} (0) = 0  , f^{(8)} (0) = 1  , f^{(9)} (0) = 0  , \cdots  \)

بنابراین سری مک‌لورن تابع \( \cos x \) با جایگذاری مقادیر فوق در فرمول، به صورت زیر خواهد بود:

\( \begin{align*}  \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)} (0) \frac{x^{n}}{n!} &= f(0) + f^{\prime} (0) x + f^{\prime\prime} (0) \frac{x^{2}}{2!}  + f^{(3)} (0) \frac{x^{3}}{3!} + \cdots \\  &= 1 +  0 \times x - 1 \times \frac{x^{2}}{2!}  + 0 \times \frac{x^{3}}{3!} + 1 \times \frac{x^{4}}{4!} + 0 \times \frac{x^{5}}{5!} \\ & \qquad - 1 \times \frac{x^{6}}{6!} + 0 \times \frac{x^{7}}{7!} + 1 \times \frac{x^{8}}{8!} + 0 \times \frac{x^{9}}{9!} - \cdots  \\ & = 1 -\frac{x^{2}}{2!} +  \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} +\frac{x^{8}}{8!} - \cdots  \end{align*} \)

این چندجمله‌ای سری مک‌لورن تابع \( \cos x \) می‌باشد. هرچه تعداد مراتب مشتق را بیشتر کنیم، دقت تخمین سری بیشتر خواهد شد و منحنی چندجمله‌ای بر منحنی تابع منطبق‌تر خواهد شد. نمودار این چندجمله‌ای را به ازای درجه‌های مختلف در زیر مشاهده می‌کنید.

تمرین ۱: سری مک‌لورن تابع \( f(x) = \tan x \) بیابید.

تمرین ۲: سری مک‌لورن تابع \( f(x) = \cot x \) بیابید.

در مطالب بعدی، سری مک‌لورن تعدادی از توابع خاص را با هم محاسبه خواهیم کرد. با ما همراه باشید.

در سال تحصیلی ۱۴۰۰ - ۱۳۹۹ سابت ریاضیات ایران با همکاری موسسه نخبگان شرق، اقدام به برگزاری ۱۲ دوره آزمون شبیه ساز تیزهوشان پایه ششم به هفتم به صورت آنلاین نمود که به حول و قوه الهی و با پشکار دانش‌آموزان و تیم سایت ریاضیات ایران و نخبگان شرق، تعداد زیادی از دانش آموزان این آموزشگاه در آزمون تیزهوشان قبول شدند.در این صفحه اسامی تعدادی از این دانش آموزان موفق را به همراه تعداد آزمون‌هایی که شرکت کرده‌اند و بیشترین درصدی که در آزمون‌ها به دست آورده‌اند، را مشاهده می‌کنید.

تجزیه و تحلیل اطلاعات سال گذشته، به این نکته تأکید دارد که دانش‌آموزان با تلاش و پشتگار خود و با همراهی اساتید خوب، می‌توانند درصدهای بالایی کسب کنند، حتی اگر در شروع کار، درصدهای مطلوبی نداشته باشند.

امسال نیز آزمون‌های تیزهوشان ششم به صورت آنلاین برگزار می‌شود و تعداد آزمون‌ها به ۱۵ آزمون افزایش یافته است. شرایط آزمون‌های آنلاین با آخرین تغییرات آزمون تیزهوشان سال گذشته، کاملا مطابقت دارد. امیدواریم بتوانیم پله صعود شما به دبیرستان تیزهوشان باشیم.

قبولی‌های تیزهوشان ششم به هفتم ورودی سال ۱۴۰۰

پارمیدا آزادنیا

تعداد آزمون ۱۲ از ۱۲

بیشترین درصد امتیاز: ۹۳ درصد

هستی عبدالهی

تعداد آزمون ۱۱ از ۱۲

بیشترین درصد امتیاز: ۹۱.۷ درصد

بهار اصغری

تعداد آزمون ۱۲ از ۱۲

بیشترین درصد امتیاز: ۹۰.۸ درصد

نیکا مالکی نژاد

تعداد آزمون ۱۲ از ۱۲

بیشترین درصد امتیاز: ۹۰ درصد

پانیذ پاکرو

تعداد آزمون ۱۲ از ۱۲

بیشترین درصد امتیاز: ۹۰ درصد

دنیا کلنگی‌خواه

تعداد آزمون ۱۱ از ۱۲

بیشترین درصد امتیاز: ۹۰ درصد

سینا جهانی

تعداد آزمون ۱۰ از ۱۲

بیشترین درصد امتیاز: ۸۷.۵ درصد

البرز قیاسی

تعداد آزمون ۱۲ از ۱۲

بیشترین درصد امتیاز: ۸۶.۷ درصد

رهام خیاط

تعداد آزمون ۱۲ از ۱۲

بیشترین درصد امتیاز: ۸۶.۷ درصد

شادیا خراشادی

تعداد آزمون ۱۲ از ۱۲

بیشترین درصد امتیاز: ۸۳.۳ درصد

آرزو صادقی

تعداد آزمون ۹ از ۱۲

بیشترین درصد امتیاز: ۸۰.۸ درصد

تیارا دائمی

تعداد آزمون ۱۲ از ۱۲

بیشترین درصد امتیاز: ۸۰.۸ درصد

دنیا نقیبی

تعداد آزمون ۹ از ۱۲

بیشترین درصد امتیاز: ۸۰ درصد

عسل اسدزاده

تعداد آزمون ۸ از ۱۲

بیشترین درصد امتیاز: ۷۵.۸ درصد

الهه امینی

تعداد آزمون ۱ از ۱۲

بیشترین درصد امتیاز: ۷۵ درصد

بیتا نجفی

تعداد آزمون ۴ از ۱۲

بیشترین درصد امتیاز: ۷۰ درصد

ساینا شوکتی

تعداد آزمون ۶ از ۱۲

بیشترین درصد امتیاز: ۶۹ درصد

سری تیلور چیست؟

سری تیلور یک چندجمله‌ای از درجه نامتناهی است و برای نمایش توابع مختلفی که خودشان چندجمله‌ای نیستند، استفاده می‌شود.

تعریف سری تیلور :

فرض کنید \( f(x) \) یک تابع حقیقی است که در نقطه \( x = a \)‌ بی‌نهایت بار مشتق پذیر می‌باشد. سری تیلور تابع \( f(x) \)  را در نقطه‌ی \( x = a \) به صورت زیر ارائه می‌دهد:

\( \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)} (a) \frac{(x-a)^{n}}{n!} = f(a) + f^{\prime} (a) (x-a) + f^{\prime\prime} (a) \frac{(x-a)^{2}}{2!} + f^{(3)} (a) \frac{(x-a)^{3}}{3!} + \cdots\)

که به آن سری تیلور تابع \( f(x) \)‌ در نقطه \( a \)‌ می‌گوییم.

توجه داشته باشید که در فرمول بالا، \( f^{(n)} (a) \) به معنی مشتق  \( n \)‌م تابع \( f(x) \)  در نقطه‌ی \( x = a \) است.

روش محاسبه سری تیلور:

برای محاسبه سری تیلور یک تابع در نقطه داده شده، ابتدا مشتق تابع را گرفته و مقدار مشتق را در آن نقطه محاسبه می‌کنیم. سپس به ترتیب مشتق مرتبه دوم و سوم و ... را در نقطه داده شده محاسبه می کنیم. سپس مقادیر به دست آمده را در فرمول بالا جایگذاری کرده و بسط تیلور تابع به دست خواهد آمد.

اکنون با یک مثال به خوبی روش کار را ببینیم.

مثال: بسط تیلور تابع \( \cos x \) را حول نقطه \( x= \pi \)‌ به دست آورید.

حل: در این مثال \( f(x) = \cos x \) و \( a = \pi \) . ابتدا مقدار تابع در این نقطه را محاسبه می کنیم و سپس مشتقات تابع را در این نقطه حساب می‌کنیم.

\( f(x) = \cos x \Longrightarrow f (\pi) = \cos (\pi) = -1 \)

\( f(x) = \cos x \Longrightarrow f^{\prime} (x) = - \sin (x)  \Longrightarrow f^{\prime} (\pi) = - \sin (\pi) = 0 \)

\( f^{\prime}(x) = - \sin (x) \Longrightarrow f^{\prime\prime} (x) = - \cos (x)  \Longrightarrow f^{\prime\prime} (\pi) = - \cos (\pi) = - (-1) = 1 \)

\( f^{\prime\prime}(x) = - \cos (x) \Longrightarrow f^{(3)} (x) =  \sin (x)  \Longrightarrow f^{(3)} (\pi) =  \sin (\pi) = 0 \)

\( f^{(3)}(x) = \sin (x) \Longrightarrow f^{(4)} (x) =  \cos (x)  \Longrightarrow f^{(4)} (\pi) =  \cos (\pi) = -1 \)

و به همین ترتیب مشتق مراتب بالاتر در نقطه \( \pi \)  به صورت زیر تکرار خواهد شد:

\(  f^{(5)} (\pi) = 0  , f^{(6)} (\pi) = 1  , f^{(7)} (\pi) = 0  , f^{(8)} (\pi) = -1  , f^{(9)} (\pi) = 0  , \cdots  \)

بنابراین سری تیلور تابع \( \cos x \) در نقطه \( x= \pi \)‌ با جایگذاری مقادیر فوق در فرمول، به صورت زیر خواهد بود:

\( \begin{align*}  \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)} (\pi) \frac{(x-\pi)^{n}}{n!} &= f(\pi) + f^{\prime} (\pi) (x-\pi) + f^{\prime\prime} (\pi) \frac{(x-\pi)^{2}}{2!}  + f^{(3)} (\pi) \frac{(x-\pi)^{3}}{3!} + \cdots \\  &= -1 +  (0) (x-\pi) + 1\times \frac{(x-\pi)^{2}}{2!}  + 0 \times \frac{(x-\pi)^{3}}{3!} - 1 \times \frac{(x-\pi)^{4}}{4!} + 0 \times \frac{(x-\pi)^{5}}{5!} \\ & \qquad + 1 \times \frac{(x-\pi)^{6}}{6!} + 0 \times \frac{(x-\pi)^{7}}{7!} - 1 \times \frac{(x-\pi)^{8}}{8!} + 0 \times \frac{(x-\pi)^{9}}{9!} + \cdots  \\ & = -1 +\frac{(x-\pi)^{2}}{2!} -  \frac{(x-\pi)^{4}}{4!} + \frac{(x-\pi)^{6}}{6!} -\frac{(x-\pi)^{8}}{8!} + \cdots \\ & = -1 +\frac{1}{2!} (x-\pi)^{2} -  \frac{1}{4!} (x-\pi)^{4}+ \frac{1}{6!} (x-\pi)^{6} -\frac{1}{8!} (x-\pi)^{8} + \cdots \end{align*} \)

این چندجمله‌ای سری تیلور تابع \( \cos x \) حول نقطه \( x= \pi \)‌ می‌باشد. هرچه تعداد مراتب مشتق را بیشتر کنیم، دقت تخمین سری بیشتر خواهد شد و منحنی چندجمله‌ای بر منحنی تابع منطبق‌تر خواهد شد.

در شکل زیر شما نمودار سری‌های تیلور برای تابع \( \cos x \) در نقطه \( x= 0 \)‌ نمایش داده شده است. هرچه تعداد جملات بیشتری را انتخاب کنیم، تطابق دو منحنی بر هم بیشتر خواهد شد.

 حالا شما سری تیلور تابع \( \cos x \) در نقطه \( x= 0 \)‌ را محاسبه کنید و با شکل بالا آن را مقایسه کنید.

تمرین ۱: سری تیلور تابع \( f(x) = e^{x} \) در نقطه \( x= 0 \)‌ بیابید.

تمرین ۲: سری تیلور تابع \( f(x) = \sin x \) در نقطه \( x= 0 \)‌ بیابید.