جوزف لوئیس لاگرانژ

Joseph Louis Lagrange

تولد: 25 ژانویه 1736 در تورین^[1]، ساردینیا-پیمونت^[2] (ایتالیا)

وفات: 10 آوریل 1813 در پاریس، فرانسه

گالری تصاویر در انتهای مطلب

جوزف-لوئیس لاگرانژ^[3] معمولاً به عنوان یک ریاضیدان فرانسوی شناخته می‌شود، اما دایره المعارف ایتالیایی او را یک ریاضیدان ایتالیایی معرفی می‌کند. آنها قطعاًً توجیه این ادعا را دارند چون لاگرانژ در تورین متولد و به نام جوزپه لودویکو لاگرانژیا تعمید داده شد. پدر لاگرانژ جوزپه فرانچسکو لودوویکو لاگرانژیا بود که خزانه دار اداره کارهای ساختمانی و استحکامات در تورین بود، و مادرش ترزا گراسو تنها دختر پزشک کامبیانو^[4]، شهری در نزدیکی تورین، بود. لاگرانژ بزرگترین فرزند از یازده فرزند خانواده‌اش بود، اما یکی از دو فرزندی بود که به بزرگسالی رسید. تورین پایتخت دوک نشینی سووی^[5] بود اما در سال 1720، شانزده سال قبل از تولد لاگرانژ، پایتخت پادشاهی ساردینیا شد. خانواده لاگرانژ پیوندهای فرانسوی از سمت پدر داشتند، پدربزرگش کاپیتان سواره نظام فرانسه بود که فرانسه را ترک کرد تا برای دوک ساووی کار کند. لاگرانژ همیشه نسبت به تبار فرانسوی خود متمایل بود، زیرا به عنوان یک جوان نامش را به صورت Lodovico LaGrange امضا می‌کرد که فرم فرانسوی نام خانوادگی‌اش بود. علیرغم این واقعیت که پدر لاگرانژ در دربار پادشاه ساردینیا موقعیت شغلی بالایی داشت، خانواده او ثروتمند نبودند، زیرا پدر لاگرانژ مبلغ هنگفتی از پول در سرمایه گذاری‌های ناموفق مالی از دست داده بود. پدر لاگرانژ شغل وکالت را برای او در نظر گرفته بود و لاگرانژ نیز این را با اشتیاق پذیرفت! او در کالج تورین تحصیل کرد و رشته مورد علاقه‌اش لاتین کلاسیک بود. در ابتدا او علاقه زیادی به ریاضیات نداشت، و هندسه یونانی را کسل کننده می‌پنداشت.

علاقه لاگرانژ به ریاضیات زمانی آغاز شد که او یک نسخه از کارهای هالی^[6] مربوط به سال 1693 در مورد استفاده از جبر در فیزیک نور را خواند. او همچنین با تدریس عالی بکاریا در دانشکده تورین به فیزیک جذب شد و تصمیم گرفت که در ریاضیات برای خودش شغلی ایجاد کند. شاید دنیای ریاضیات از پدر لاگرانژ برای سرمایه گذاری های مالی نادرستش تشکر کند، زیرا لاگرانژ بعدها اذعان کرد: -

... « ... اگر من ثروتمند بودم، احتمالاً خودم را وقف ریاضیات نمی‌کردم. ...»...

او قطعاً تمام زندگی خود را به ریاضیات اختصاص داده بود، اما عمدتاً ریاضی را خود خوان فراگرفته بود و از تحصیل در محضر ریاضیدانان برجسته برخوردار نشده بود. در 23 ژوئیه 1754 او اولین اثر ریاضی خود را که در قالب نامه‌ای به زبان ایتالیایی بود و به جولیو فانانو^[7]  ارسال شده بود را منتشر کرد. شايد هیجان انگيزترين قسمت آن نامي بود كه لاگرانژ در اين مقاله نوشت: لوييج د لا گرانژ تورنير. این اثر یک شاهکار نبود و تا حدی به این واقعیت اشاره می‌کرد که لاگرانژ تنها و بدون راهنمایی‌های یک استاد ریاضی کار می‌کرد. این مقاله مقایسه‌ای بین قضیه دوجمله‌ای و مشتقات متوالی حاصلضرب توابع را بیان می‌کرد. لاگرانژ قبل از نوشتن مقاله به زبان ایتالیایی برای انتشار، نتایج را طی نامه‌ای به زبان لاتین به اویلر، که در آن زمان در برلین کار می‌کرد، فرستاده بود. یک ماه بعد از این که مقاله منتشر شد، لاگرانژ متوجه شد که این نتایج در مکاتبات بین یوهان برنولی و لایبنیتس آمده است. لاگرانژ به شدت از این موضوع ناراحت شد، زیرا او از این می‌ترسید که گفته شود که با تقلب نتایج دیگران را کپی کرده است. با این حال این شروع کمتر برجسته باعث شد که لاگرانژ تلاش خود را برای ایجاد نتایج شایستگی واقعی در ریاضیات، دو برابر کند. او کارش را بر روی تاتوکرون^[8]، منحنی که در آن یک ذره وزنی در یک زمان ثابت و مستقل از موقعیت اولیه‌اش، به یک نقطه ثابت می‌رسد، شروع کرد. در پایان سال 1754 او چندین کشف مهم در تاتوکرون انجام داد که به موضوع جدیدی از حساب تغییرات کمک می‌کرد (که ریاضی دانان قبلاً شروع به مطالعه این موضوع کرده بودند اما نام «حساب تغییرات» بعد از اکتشافات اویلر در سال 1766 به آن اختصاص یافت).

لاگرانژ نتایج خود را درباره تاتوکرون که حاوی روش‌اش برای تعیین حداکثر و حداقل بود را برای اویلر فرستاد. نامه او در 12 آگوست 1755 نوشته شده بود و اویلر در تاریخ 6 سپتامبر به آن پاسخ داد و گفت که چگونه  با ایده‌های جدید لاگرانژ تحت تاثیر قرار گرفته است. اگر چه او هنوز تنها 19 سال داشت، در 28 سپتامبر 1755 به عنوان استاد ریاضیات در دانشکده توپخانه سلطنتی در تورین منصوب شد. این انتصاب به خوبی سزاوار مرد جوانی بود که اصالت تفکر و عمق استعدادهای فوق العاده اش را به دنیای ریاضیات نشان داده بود.

در سال 1756، لاگرانژ نتایجی را برای اویلر فرستاد که او در استفاده از حساب تغییرات در مکانیک به دست آورده بود. این نتایج، نتایج کلی را که اویلر خودش به دست آورده بود، را تعمیم می‌داد و باعث شد که اویلر با ماپرتیوس^[9] که رئیس آکادمی برلین بود در مورد این ریاضیدان برجسته جوان، مشورت کند. نه تنها لاگرانژ یک ریاضیدان برجسته بود، بلکه او نیز طرفدار قوی اصل کمترین اقدام بود، بنابراین ماپرتیوس بدون هیچ تردیدی سعی کرد او را در سمتی در پروسیا قرار دهد. او با اویلر هماهنگ کرد که به لاگرانژ بگوید تا بداند که موقعیت جدید، به مراتب معتبرتر از آنچه در تورین انجام می‌دهد می‌باشد. با این حال، لاگرانژ به دنبال عظمت نبود، او فقط می خواست زمان خود را به ریاضیات اختصاص دهد، و به این ترتیب او مودبانه از پذیرفتن این موقعیت خودداری کرد. اویلر برای انتخابات آکادمی برلین لاگرانژ را پیشنهاد کرد و او در 2 سپتامبر 1756 به عنوان فرد اصلح انتخاب شد. سال بعد، لاگرانژ، یکی از اعضای بنیانگذار جامعه علمی در تورین بود که تبدیل به آکادمی سلطنتی علوم تورین شد. یکی از نقش‌های اصلی این انجمن جدید انتشار یک مجله علمی به نام Mélanges de Torin بود که مقالات را به فرانسه یا لاتین منتشر کرد. لاگرانژ مهمترین نویسنده اولین جلد این نشریه بود که در سال 1759 چاپ شد. جلد 2 این نشریه در سال 1762 و جلد 3 در 1766 منتشر شد. مقالات لاگرانژ که در این نشریه چاپ می‌شدند موضوعات مختلفی را پوشش می‌داد. او نتایج مقالاتش را در مورد حساب تغییرات منتشر کرد و یک کار کوتاه در محاسبه احتمالات انجام داد. در یکی از کارها که بر پایه دینامیک بود، لاگرانژ توسعه کار خود را بر اساس اصل کمترین اقدام و انرژی جنبشی گذاشت.

لاگرانژ در مجله Mélanges de Torino همچنین مطالعه گسترده‌ای در مورد انتشار صدا، انجام داد که نتایج این مطالعه مشارکت مهمی در تئوری رشته‌های ارتعاش کننده^[10] داشت. او به طور وسیعی در این موضوع مطالعه کرده بود و به وضوح تفکرات عمیقی بر آثار نیوتن^[11]، دنیل برنولی^[12]، تیلور^[13]، اویلر و دالامبرت^[14] داشت. لاگرانژ از یک مدل توده‌ گسسته برای رشته ارتعاشی خود استفاده کرد که از اتصال n توده از رشته‌های بی وزن، به دست می آمد. او دستگاه n + 1 معادله دیفرانسیلی را حل کرد، و سپس n را به بی نهایت میل داد تا یک راه حل کاربردی همانطور که اویلر انجام داده بود به دست آورد. با این حال، مسیر متفاوت راه حلش نشان می‌دهد که او به دنبال روش‌های متفاوتی از روش اویلر است هرچند لاگرانژ برای آنها احترام زیادی قایل بود.

در مقالاتی که در جلد سوم منتشر شدند، لاگرانژ یکپارچگی معادلات دیفرانسیل را مورد مطالعه قرار داد و  کاربردهای مختلفی از آن را در موضوعاتی چون مکانیک سیالات (که در آن تابع لاگرانژی را معرفی کرد) ارایه داد. همچنین شامل روشهایی برای حل کردن دستگاه‌های معادلات دیفرانسیل خطی بود که از مقدار مشخصه^[15] جایگشت خطی برای اولین بار در حل آن‌ها استفاده کرد. یکی دیگر از مسایلی که او با روش هایش به حلش پرداخت، مطالعه مدارهای مشتری و زحل بود.

آکادمی علوم در پاریس مسابقه جایزه دار خود را برای سال 1764 در سال 1762 اعلام کرد. موضوع رقابت جنبش نمایان ماه بود، یعنی حرکت ماه که باعث ایجاد چهره ای است که از زمین به صورت نوسان مشاهده می‌شود و موجب تغییرات کوچک در موقعیت ویژگی های ماه می‌شود. لاگرانژ وارد رقابت شد، درخواست پذیرش خود را به پاریس در سال 1763 فرستاد که مدت کوتاهی قبل از آن خود لاگرانژ به آنجا رشیده بود. در نوامبر آن سال او تورین را ترک کرد تا به اولین سفر طولانی خود با همراهی مارکوییس کاراکچیولی^[16]، سفیر ناپل که از تورین به پستی در لندن منتقل شده بود، عازم شود. لاگرانژ پس از مدت کوتاهی از ورودش به پاریس بیمار شد. با این وجود با سفیر به لندن رفت. دالامبرت از این که ریاضیدانی همانند لاگرانژ افتخارات بیشتری دریافت نکرده بود ناراحت بود. او از طرف لاگرانژ نوشت:

...«... آقای لاگرانژ، هندسه دان جوان اهل تورین، برای شش هفته در اینجا بوده است. او به سختی بیمار شده است و نیازی به کمک مالی ندارد، زیرا علی رغم ابراز علاقه اش کشور زادگاه خود؛ مارکوییس کاراکچیولی دستور داده است به انگلیس بدون هیچ گونه کم و کسری برود. ...  تورین دارای یک گنج است که ارزش آن را شاید نمی داند. ...»...

  در اوایل سال 1765 لاگرانژ به تورین بازگشت، در همان سال برای جایزه مسابقه آکادمی علوم سال 1766 وارد مبحث مدارهای قمرهای مشتری شد. دالامبرت که از آکادمی برلین بازدید کرده بود و با فردریک دوم پروسا^[17] دوست بود، برای لاگرانژ پستی در آکادمی برلین ارائه کرد. با وجود عدم پیشرفت در موقعیت لاگرانژ در تورین، او دوباره این پیشنهاد را نپذیرفت و نوشت:

...«... به نظر می‌رسد تا زمانی که اویلر آنجاست، برلین برای من مناسب نیست. ...»...

در مارس 1766، دالامبرت مطلع شد که اویلر به سنت پترزبورگ بازگشته است و دوباره به لاگرانژ نامه‌ای نوشت و او را تشویق به پذیرش پست در برلین کرد. جزئیات کامل پیشنهاد سخاوتمندانه فردریک دوم در ماه آوریل به او فرستاده شد و لاگرانژ در نهایت پذیرفت. او در ماه اوت تورین را ترک کرد، دالامبرت را در پاریس و سپس کاراکچیولی را در لندن قبل از رسیدن به برلین در ماه اکتبر ملاقات کرد. لاگرانژ جانشین اویلر به عنوان مدیر ریاضیات در فرهنگستان برلین در ششم  نوامبر 1766 شد.

استقبال گرمی از طرف اکثر اعضای آکادمی از  لاگرانژ شد و لاگرانژ خیلی زود با لامبرت و یوهان (برنولی)^[18] دوست شد. با این حال، همه از این که این مرد جوان را در چنین جایگاه معتبری ببینند خوشحال نشدند، به ویژه کستیون^[19] که 32 سال مسن تر از لاگرانژ بود و اعتقاد داشت که خودش باید به عنوان مدیر ریاضیات منصوب شود. لاگرانژ پس از کمتر از یک سال از زمانی که وارد برلین شد با دختر عمویش ویتوریا کونتی ازدواج کرد. او به دالامبرت نوشت:

...«... همسر من که یکی از دخترعموهای من است و حتی برای مدت طولانی با خانواده ام زندگی کرده است، یک زن خانه دار بسیار خوب است و هیچ تظاهری ندارد. ...»...

آنها فرزندی نداشتند، در واقع لاگرانژ در این نامه به دالامبر گفته بود که نمی خواهد بچه داشته باشد.

تورین همیشه به خاطر از دست دادن لاگرانژ پشیمان بود و به او برای بازگشتن پیشنهاد می‌داد، به عنوان مثال یکی از این پیشنهادات در سال 1774 بود. با این حال، لاگرانژ 20 سال در برلین کار کرد و در این سال ها با تولید جریان ثابت مقالات با کیفیت بالا، برنده منظم جایزه آکادمی علوم پاریس بود. او جایزه 1772 را در رابطه با مسئله سه جرم با اویلر به اشتراک برنده شد، جایزه سال 1774 را به دست آورد، جایزه دیگری را در رابطه با حرکت ماه و جایزه 1780 را در مورد انحرافات مدار سیاره های دنباله دار به دست آورد. کار او در برلین موضوعات زیادی را تحت پوشش قرار می‌داد: نجوم، ثبات منظومه شمسی، مکانیک، دینامیک، مکانیک سیالات، احتمال و مبانی حساب. او همچنین در نظریه اعداد در سال 1770 اثبات کرد که هر عدد صحیح مثبت مجموع چهار مربع است. در سال 1771، قضیه ویلسون^[20] را اثبات کرد (اولین بار بدون اثبات توسط وارینگ^[21] بیان شد) که بیان می کرد n اول است اگر و فقط اگر 1+!(n -1) بر n تقسیم پذیر باشد. در سال 1770 او همچنین کار مهم خود را ارائه داد «تفسیر در حل معادلات جبری» که تحقیق بنیادی در مورد اینکه چرا معادلات تا درجه 4 می تواند توسط رادیکال ها حل شود، بود. این اولین مقاله ای بود که ریشه های یک معادله را به عنوان مقادیر مجرد و نه مقادیر عددی در نظر می گرفت. او جایگشت های ریشه ها را مورد مطالعه قرار داد و اگر چه او جایگشت را در مقاله نمی نوشت، می توان آن را اولین گام در توسعه نظریه گروه در نظر گرفت که توسط رافینی^[22]، گالوییس^[23] و کوشی^[24] ادامه یافت.

اگر چه لاگرانژ مشارکتهای زیادی را در زمینه مکانیک انجام داده است، اما او کار جامعی در این زمینه ندارد. او تصمیم گرفت یک کار قطعی را که شامل مشارکت هایش است بنویسد و در تاریخ 15 سپتامبر 1782 به لاپلاس نوشت:

...«... من «رساله ای در مکانیک تحلیلی» را تقریباً تکمیل کردم که بر اساس اصل سرعت های مجازی است؛ اما چون که هنوز نمی دانم چه زمانی یا جایی می توانم آن را چاپ کنم عجله ای ندارم تا آن را به پایان برسانم. ...»...

کاراکچیولی که در سیسیلی بود، خوشحال می شد که بازگشت لاگرانژ به ایتالیا را ببیند و او پیشنهادش را توسط دادگاه ناپل در سال 1781 تنظیم کرد. به لاگرانژ پست مدرس فیلسوف آکادمی ناپل را پیشنهاد شد، لاگرانژ آن را رد کرد زیرا فقط آرامش می خواست تا ریاضیاتش را ادامه دهد و موقعیتش در برلین برای او شرایط ایده آل بود. در طول سال های اقامتش در برلین، سلامت او نسبتا ضعیف بود و همسرش حتی بدتر از او بود. همسرش پس از سالها بیماری در سال 1783 درگذشت و لاگرانژ بسیار افسرده شد. سه سال بعد فردریک دوم درگذشت و جایگاه لاگرانژ در برلین کمتر آسوده شد. بسیاری از ایالت های ایتالیا فرصت را غنیمت دیدند و تلاشی برای جذب او به ایتالیا انجام دادند.

پیشنهادی که برای لاگرانژ جذاب بود، اما از ایتالیا نبود و از پاریس بود و شامل بندی به این معنا بود که «لاگرانژ هیچ تدریسی ندارد». در 18 مه 1787، برلین را ترک کرد تا عضو آکادمی علوم پاریس شود، جایی که برای بقیه کارهایش باقی ماند. لاگرانژ از انقلاب فرانسه جان سالم به در برد، در حالی که بسیاری دیگر از بین رفتند و این تا حدودی ناشی از نگرش او است که او چندین سال قبل پیش از آن نوشته بود:

...«... من معتقدم که به طور کلی، یکی از نخستین اصول هر انسان عاقل این است که با قوت از قوانین کشوری که در آن زندگی می کنند، حتی اگر غیر منطقی باشند، تبعیت داشته باشد. ...»...

مکانیک تحلیلی که لاگرانژ در برلین نوشته بود، در سال 1788 منتشر شد. این رساله برای انتشار توسط کمیته ای از آکادمی علوم که شامل لاپلاس، کوزین^[25]، لژاندر و کاندورس^[26] بود، تایید شده بود. لژاندر به عنوان یک ویرایشگر برای این کار خواندن اثبات ها و کارهای دیگرش را انجام داد. رساله مکانیک تحلیلی خلاصه همه کارهای انجام شده در زمینه مکانیک از زمان نیوتن بود و مورد قابل توجه آن استفاده از نظریه معادلات دیفرانسیل در آن بود.  با این کار لاگرانژ مکانیک را به شاخه ای از ریاضیات تحلیلی تبدیل کرد. او در مقدمه نوشت:

 ...«... خواننده این کتاب رقم و عددی در این کار پیدا نخواهد کرد. در روشهایی که من توضیح می دهم نیازی به ساختارها و استدلالهای هندسی یا مکانیکی نیست، بلکه فقط عملیات جبری است که به یک دوره منظم و یکنواخت نیاز دارد. ...»...

لاگرانژ عضو کمیته آکادمی علوم برای استانداردسازی وزن و اندازه گیری در ماه می 1790 شد. آنها بر روی سیستم متریک کار می‌کردند و مبنای دودویی را حمایت می‌کردند. لاگرانژ برای دومین بار در سال 1792 ازدواج کرد، همسرش رنه فرانسوا آدلاید لومونیر دختر یکی از همکاران ستاره شناسش در آکادمی علوم بود. او قطعاً از تاثیر رویدادهای سیاسی بی نصیب نماند. در سال 1793، سلطنت وحشت آغاز شد و آکادمی علوم و سایر جوامع علمی در 8 اوت سرکوب شدند. کمیسیون وزن و اندازه گیری تنها گروه علمی بود که مجاز به ادامه کار شد و زمانی که دیگر اعضا از جمله شیمیدان لاووسیر^[27]، بوردا^[28]، لاپلاس، کلمب، بریسون^[29]و دلامبر از آنجا اخراج شدند لاگرانژ رئیس کمیسیون شد.

در سپتامبر 1793 یک قانون مصوب شد که بر طبق آن تمامی افراد متولد شده در کشورهای دشمن دستگیر و تمامی اموال آنها مصادره شود. لاوسیر از طرف لاگرانژ میانجی گری کرد، که مطمئنا تحت شرایط این قانون قرار می گرفت و او را مستثناء کرد. در تاریخ 8 می 1794، پس از محاکمه ای که کمتر از یک روز طول کشید، دادگاه انقلابی، لاوسیر که لاگرنژ را از دستگیری نجات داده بود را محکوم کرد و 27 نفر دیگر نیز به مرگ محکوم شدند. لاگرانژ درباره درگذشت لاوسیر، که در بعد از ظهر روز محاکمه خود گیوتین شد گفت:

...«... قطع سرش، فقط یک لحظه زمان برد ولی یک صد سال طول می کشد تا سری همانندش تولید شود. ...»...

École Polytechnique در 11 مارس 1794 تاسیس شد و در دسامبر 1794 شروع به کار کرد (اگر چه آن را در اولین سال École Centrale des Travaux Publics می خواندند).  لاگرانژ که اولین استاد آنالیز آن بود،برای افتتاح کردن آن در سال 1794 انتخاب شد. در سال 1795 École Normale با هدف آموزش معلمان مدرسه تاسیس شد. لاگرانژ دوره های ریاضیات ابتدایی را در آنجا آموزش می‌داد. . ما در بالا ذکر کردیم که لاگرانژ شرط «بدون تدریس» را در قراردادش نوشته بود اما انقلاب چیزها را تغییر داد و لاگرانژ هم مجبور شد که آموزش دهد. با این حال، او یک سخنران خوب مانند فوریه نبود، که در سخنرانی‌هایش در École Normale در سال 1795 حضور داشت، فوریه نوشت:

...«... صدای او بسیار ضعیف است و شنونده را گرم نمی‌کند؛ او لهجه ایتالیایی بسیار غلیظی دارد و حرفی مانند اس را زد تلفظ می‌کند ... دانش آموزانی که اکثریت آنها از قدردانی او عاجز هستند، به او خوشامد کوچکی می گوبند، اما استادان برای او اصلاح می کنند. ...»...

همچنین بوگ که در سخنرانی لاگرانژ در École Polytechnique در سال 1799 حضور داشت، نوشت:

...«... هر چه این بزرگ مرد می گوید، سزاوار بالاترین درجه از توجه است، اما سخنان او برای جوانان بسیار انتزاعی است. ...»...

لاگرانژ دو جلد درس حسابان خود را منتشر کرد. در سال 1797، اولین تئوری توابع یک متغیره حقیقی را با عنوان Théorie des fonctions analytiques منتشر کرد، هرچند او نتوانست توجه کافی به مسائل همگرایی کند. او می گوید هدف کار این است که:

...«... اصول حساب دیفرانسیل، رها از تمام توجهات به مقادیر بی نهایت کوچک یا ناپیدا، محدودیت ها یا فاصله ها به آنالیز جبری از مقادیر متناهی کاهش یافته است. ...»...

همچنین می گوید:

...«... اعمال عادی جبر برای حل مسایل نظریه منحنی کافی است. ...»...

هرچند، همه افراد روش لاگرانژ را بهترین روش محاسبه حسابان نمی دانستند. مثلاً دوپرونی^[30] در سال 1835 نوشت:

...«... پایه حسابان لاگرانژ قطعاً یک بخش بسیار جالب از آنچه که ممکن است فرد به نام مطالعه صرفاً فلسفی بنامد باشد: اما زمانی که مورد آنالیز غیرجبری، ابزاری برای اکتشاف سوالاتی است که در زمینه های نجوم، مهندسی دریایی، زمین شناسی و شاخه های مختلف مهندسی علوم ارائه شده است، در نظر گرفتن بی نهایت کوچک، هدف را به نحوی فریبنده تر، سریع تر و بلافاصله با ماهیت سوالات سازگار می‌کند. ...»...

دومین کار لاگرانژ در موضوع حساب توابع در سال 1800 منتشر شد.

ناپلئون، لاگرانژ را به عناوین لژیون افتخار و کنت امپراطوری در سال 1808 لقب داد. در 3 آوریل سال 1813، جایزه  بزرگ سلطنتی به او اهدا شد. او یک هفته بعد فوت کرد.

گالری تصاویر لاگرانژ

[gallery width="107" height="150" columns="6"] [gallery_item title="تصویر شماره 1 لاگرانژ" src="/images/dnshmndn/lagrange/IRmath_Lagrange.jpg"]Nullam ultrices[/gallery_item] [gallery_item title="تصویر شماره 2 لاگرانژ" src="/images/dnshmndn/lagrange/IRmath_Lagrange2.jpg"]Nullam ultrices[/gallery_item] [gallery_item title="تصویر شماره 3 لاگرانژ" src="/images/dnshmndn/lagrange/IRmath_Lagrange3.jpg"]Nullam ultrices[/gallery_item] [gallery_item title="تصویر شماره 4 لاگرانژ" src="/images/dnshmndn/lagrange/IRmath_Lagrange4.jpg"]Nullam ultrices[/gallery_item] [gallery_item title="تصویر شماره 5 لاگرانژ" src="/images/dnshmndn/lagrange/IRmath_Lagrange5.jpg"]Nullam ultrices[/gallery_item] [gallery_item title="تصویر شماره 6 لاگرانژ" src="/images/dnshmndn/lagrange/IRmath_Lagrange6.jpg"]Nullam ultrices[/gallery_item] [gallery_item title="تصویر شماره 7 لاگرانژ" src="/images/dnshmndn/lagrange/IRmath_Lagrange7.jpg"]Nullam ultrices[/gallery_item] [/gallery]

 پی‌نوشت‌ها:

[1] Turin

[2] Sardinia-Piedmont

[3] Joseph-Louis Lagrange

[4] Cambiano

[5] duchy of Savoy

[6] Halley

[7] Giulio Fagnano

[8] tautochrone

[9] Maupertuis

[10] vibrating strings

[11]Newton

[12] Daniel Bernoulli

[13] Taylor

[14] d'Alembert.

[15] characteristic value

[16] Marquis Caraccioli

[17] Frederick II of Prussia

[18] Johann(III) Bernoulli

[19] Castillon

[20] Wilson

[21] Waring

[22] Ruffini

[23] Galois

[24] Cauchy

[25] Cousin

[26] Cousin

[27] Lavoisier

[28] Borda

[29] Coulomb, Brisson

[30] de Prony