زیرماتریس

زیرماتریس: فرض کنید که $A$ یک ماتریس $m \times n$ باشد. در اینصورت یک زیرمجموعه از سطرها و یک زیرمجموعه از ستون‌های ماتریس $A$ با هم ماتریس جدیدی را ایجاد می‌کند، که آن را زیرماتریسی از ماتریس $A$ گویند. به عبارت دیگر این موضوع را می‌توان با استفاده از نمادهای ریاضی به گونه زیر بیان نمود:

فرض کنید که $A$ یک ماتریس $m \times n$ باشد. یک زیر ماتریس از ماتریس $A$ به صورت زیر مشخص می‌شود:

۱. $\{ a_1 , ... , a_r \}$، مجموعه $r$ اندیس‌ انتخاب شده از کل $m$ سطر ماتریس A می‌باشد.

۲. $\{ b_1 , ... , b_s \}$، مجموعه $s$ ستون انتخاب شده از کل $n$ ستون ماتریس A می‌باشد.

در نتیجه زیرماتریس تشکیل شده از سطرها با اندیس‌های $\{ a_1 , ... , a_r \}$ و از ستون‌ها با اندیس‌های $\{ b_1 , ... , b_s \}$ به صورت زیر مشخص می‌شوند:

$A = [a_1 , a_2 , ... , b_a , b_2 , ... , b_s] $

برای مثال، ماتریس زیر را در نظر بگیرید. برای تشکیل زیرماتریس، ابتدا سطرها و ستون‌های  ۲، ۳ و ۵ را انتخاب می‌کنیم و با استفاده از آنها زیرماتریس را به صورت زیر تشکیل می‌دهیم. به عبارت دیگر سطرها و ستون‌های اول و چهارم را از ماتریس اصلی حذف می‌کنیم ( روی آن خط خورده است)  

مثال ۱. سه زیرماتریس،  ماتریس زیر را مشخص کنید.

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 2 & 3 & 7 \\ 8 & 9 & 10 \end{bmatrix} $

⇒ $A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$

⇒ $A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 2 & 3 & 7 \end{bmatrix}$

⇒ $A_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{bmatrix}$

نکته ۱. فرض کنید که $A$ یک ماتریس $ m \times n$ باشد. تعداد کل زیرماتریس‌های از مرتبه $k_1 \times k_2$ برابر است با

$\begin{pmatrix} m \\ k_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m \\ k_1 \end{pmatrix} = \frac{m! n!}{(m-k_1)! k_1!k_2!(n-k_2)!}$

و همچنین تعداد کل زیرماتریس‌های یک ماتریس از مرتبه $m \times n$ برابر است با

$\sum_{k_1=1}^m \sum_{k_2=1}^n \left(\begin{array}{c}m\\ k_1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n\\ k_2\end{array}\right) = (2^m-1)(2^n-1)$

مثال ۲. فرض کنید که $A$ یک ماتریس $ 5 \times 4$ باشد . تعداد کل زیرماتریس‌های از مرتبه‌های $3 \times 3$ ،$ 1 \times 2 $ و $ 2 \times 3 $ را به دست آورید، و همچنین تعداد کل زیرماتریس‌های ماتریس $A$ را محاسبه کنید.

برای محاسبه تعداد زیرماتریس‌ها به گونه زیر عمل می‌کنیم:

$\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right) = \frac{5! 4!}{2! 3!(5-2)!(4-3)!} = \frac{5! 4!}{2! 3! 3! 1!}$

$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right) = \frac{5! 4!}{1! 2!(5-1)!(4-2)!} = \frac{5! 4!}{2! 4! 2!}$

$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right) = \frac{5! 4!}{3! 3!(5-3)!(4-3)!} = \frac{5! 4!}{3! 3! 2!}$

و تعداد کل زیرماتریس‌های این ماتریس عبارتند از:

$\sum_{k_1 =1}^5 \sum_{k_2 =1}^4\left(\begin{array}{c}5\\ k_1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}4\\ k_2\end{array}\right) = (2^5-1)(2^4-1) = 31 \times 15$

تمرین ۱. تعداد کل زیرماتریس‌های از مرتبه‌های $5 \times 6$، $8\times 2$ و $3\times 2$ از یک ماتریس از مرتبه $12\times 7$ را محاسبه کنید.