ویژگی‌های دترمینان

ویژگی‌های دترمینان بخش اول: در این مطلب سعی داریم ویژگی‌های را که بر روی دترمینان یک ماتریس مربعی برقرار می‌باشد را بیان ‌کنیم.

ویژگی ۱. فرض کنید که $A$ یک ماتریس مربعی از مرتبه  $ n \times n$ به صورت یکی از شکل‌های زیر باشد:

$A = \begin{bmatrix}a_{11} & .&.&. & a_{1n}\\.&&&&.\\.&&&&. \\.&&&&. \\ a_{j+1} & .&.&. & a_{j-1n} \\ 0 & .&.&. & 0 \\ a_{j+11} & .&.&. & a_{j+1n} \\.&&&&.\\.&&&&.\\.&&&&.\\ a_{n1} & .&.&. & a_{nn} \end{bmatrix}\:\:$  یا  $\:\:A = \begin{bmatrix}a_{11} & .&.&. & a_{1j-1} & 0 & a_{1j+1} & .&.&. a_{1n}\\.&.&.&&&.&&&&.\\.&.&.&&&.&&&&.\\.&.&.&&&.&&&&.\\a_{n1} & .&.&. & a_{nj-1} & 0 & a_{nj+1} & .&.&. a_{nn} \end{bmatrix}$

که در آن سطر یا ستون jام ماتریس فوق صفر باشد. در اینصورت دترمینان این ماتریس برابر صفر خواهد بود.

مثال ۱. دترمینان ماتریس زیر را بدست آورید.

$ A = \begin{bmatrix}0 & 0 \\1 & 2 \end{bmatrix} \Rightarrow det(A) = 0 \times 2 - 1 \times 0 = 0$

تمرین ۲. دترمینان ماتریس زیر را بدست آورید.

$A = \begin{bmatrix}0 & 1 & 5 \\0 & 7 & 8 \\ 0 & 9 & 10 \end{bmatrix}$

ویژگی ۲. فرض کنید که $A$ یک ماتریس مربعی از مرتبه $ n \times n$ و $k$ اسکالری از میدان باشد. در اینصورت دترمینان ماتریس $C$ که از ضرب سطر یا ستون ماتریس $A$ در اسکالر $k$ حاصل می‌شود برابر است با

$det(C) = k det (A)$

مثال ۲. دترمینان ماتریس زیر را هنگامیکه سطر اول در عدد $k=2$ ضرب می‌شود، را بدست آورید.

$A = \begin{bmatrix}5 & 3 \\7 & 8 \end{bmatrix} $

دترمینان ماتریس A به صورت زیر به دست خواهد آمد:

$det(A) = 40-21 = 19$

ماتریس $C$ که از ضرب سطر اول ماتریس A در عدد $k=2$ بدست می‌آید، به شکل زیر است:

$C = \begin{bmatrix}10 & 6 \\7 & 8 \end{bmatrix}8$

در اینصورت دترمینان این ماتریس به صورت زیر خواهد شد:

$det(C) = 80-42 = 38$

که این دترمینان برابر است با حالتی که عدد ۲ را در دترمینان ماتریس $A$ یعنی ۱۹ ضرب می‌کنیم.

تمرین ۲. دترمینان ماتریسی که از ضرب ستون دوم ماتریس زیر در عدد $i$ حاصل می‌شود، را به دست آورید.

$A = \begin{bmatrix}5 & 6 & 7 \\8 & 9 & 1 \\ i & 2 & 0 \end{bmatrix}$

ویژگی ۳. فرض کنید که $B$ ماتریسی است که از تعویض‌ یک سطر یا ستون از ماتریس $A$ به دست آید، در اینصورت داریم:

$det(B) = -det(A)$

مثال ۳. دترمینان ماتریسی را که از تعویض‌ سطر اول با دوم به دست می‌آید را محاسبه کنید.

$A = \begin{bmatrix}5 & 6 \\7 & 8 \end{bmatrix}$

مقدار دترمینان ماتریس A خواهد شد:

$ det(A) =40-42 = -2$

حال جای سطر اول و دوم را در این ماتریس جا به جا می‌کنیم، لذا داریم:

$C = \begin{bmatrix}7 & 8 \\5 & 6 \end{bmatrix} \Rightarrow det(C)= 42-40 = 2$

همانطور که می‌بینید $det(C) = -det(A)$ خواهد بود.

تمرین ۳. دترمینان ماتریسهای زیر را با تعویض جای ستون اول و سوم به دست آورید.

۱. $A = \begin{bmatrix}5 & 6 & 7 \\0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

۲. $B= \begin{bmatrix}5 & 2 & 1 \\0 & 1 & 9 \\ 0 & 4 & 5 \end{bmatrix}$