وابستگی خطی بردارها

وابستگی خطی بردارها: فرض کنید که مجموعه $ A = \{ \overrightarrow{v_1} , ... , \overrightarrow{v_{k}} \}$ یک زیرمجموعه از فضای برداری $V$ بر روی میدان $F$ باشد. بردارهای $ \overrightarrow{v_{k}} , ... , \overrightarrow{v_1}\ $ را وابسته خطی گویند، هرگاه اسکالرهای $ a_{k} , ... , a_1$ به گونه‌ای که همگی آنها صفر نباشد، یافت شود و داشته باشیم:

$ a_1v_1 + ... + a_{k}v_{k} =0$

در واقع مفهوم بالا بیان می‌کند که بردار صفر را می‌توان به صورت یک ترکیب خطی از بردارهایی نوشت که همگی اسکالرهای آن صفر نیستند. وقتی یکی از اسکالرها مثلا $a_{i}$ که $ 1 \leq i \leq k $ باشد مخالف صفر باشد، در اینصورت داریم:

$v_i =- \frac{a_1}{a_i}v_1 - ... - \frac{a_{i-1}}{a_i}v_{i-1} - \frac{a+i}{a_i}v_{i+1}- ... - \frac{a_k}{a_i}v_k $

به زبان ساده تر، وقتی یک مجموعه از بردارها وابسته خطی هستند، یعنی یکی از بردارها را می‌توانیم به صورت ترکیب خطی سایر بردارها بنویسیم.

وابستگی خطی و استقلال خطی مختص بردارها نیست و در اکثر موضوعات ریاضی وجود دارد. مثلا در مبحث معادلات دیفرانسیل، توابع مستقل خطی و وابسته خطی را داشتیم.

مثال ۱. آیا مجموعه برداری $ A = \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \} $ وابسته خطی است؟

برای اینکه مجموعه $A$ وابسته خطی باشد، کافی است بتوانید بردار صفر را به صورت ترکیب خطی از بردارهای مجموعه $A$ بنویسید، به گونه ای که تمام اسکالرهای استفاده شده در این ترکیب خطی صفر نباشند. لذا فرض کنید $ \alpha _{1} , \alpha_{2} , \alpha_{3}, \alpha_{4} $ اسکالرهایی از میدان باشند، لذا داریم:

$ \alpha_{1} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \alpha_{2} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} + \alpha_{3} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} + \alpha_{4} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 $ (*)

در نتيجه دو معادله خطی زير را به دست خواهيم آورد:

⇒ $ \alpha_1 + 3\alpha_2 + 4 \alpha_3 + 2 \alpha_4 = 0 $

⇒ $ 2 \alpha_1 + 5 \alpha_2 + \alpha_3 + 3 \alpha_4 =0 $

حال با توجه به عبارت‌های به دست آمده دستگاه دو معادله و جهار مجهول زیر را داریم:

$\begin{cases}\alpha_1 + 3 \alpha_2 + 4 \alpha_3 + 2\alpha_4 = 0\\ 2\alpha_1 + 5 \alpha_2 + \alpha_3 + 3\alpha_4 = 0\end{cases}$

چون تعداد مجهولات بیشتر از تعداد معادلات می‌باشد، دستگاه دارای بیشمار جواب خواهد داشت. لذا بردارهای مجموعه $A$ وابسته خطی خواهند بود. برای نشان دادن وابستگی خطی بودن مجموعه $A$ کافی است، ضرایب مخالف صفری را برای ترکیب خطی (*) بیابیم. برای این منظور این گونه زیر عمل می‌کنیم که دو مجهول را به دلخواه عدد می دهیم و دو مجهول دیگر را محاسبه می کنیم:

مثلاً جوابی را برای این دستگاه، برای حالتی که $ \alpha_3 = \alpha_4 = 1 $ است به دست می‌آوریم. لذا داریم:

$ \begin{cases}\alpha_1 + 3 \alpha_2 = -6 \\ 2\alpha_1 + 5 \alpha_2 = -4\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}-2\alpha_1 - 6 \alpha_2 = 12 \\ 2\alpha_1 + 5 \alpha_2 = -4\end{cases} \Rightarrow - \alpha_2 = 8 \Rightarrow \alpha_2 = -8 , \alpha_1 = 18 $

لذا یک جواب دستگاه برای حالت‌ $( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 = (18,-8,1,1)) $ می‌باشد، که نشان می‌دهد لزوماً تمامی ضرایب ترکیب خطی مورد نظر صفر نمی‌باشند، در نتیجه وابسته خطی است.

تمرین ۱. آیا بردارهای $ A = \{ (3,5,7) , (1,0,1) , (0,0,1) \} $ وابسته خطی هستند.

تمرین ۲. آیا بردارهای $ A = \{ (1,0,1) , (2,2,5) , (3,1,7) , (0,0,1) \} $ وابسته خطی هستند.